知识要点 连续型随机变量及其分布

1. 连续型随机变量的概率密度

如果对于随机变量 $X$ 的分布函数 $F\left(x\right)$,存在非负可积函数 $f\left(x\right)$,使得对任意实数 $x$,有 $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t$ 成立,则称 $X$ 为连续型随机变量,函数 $f\left(x\right)$ 称为 $X$ 的概率密度 (或分布密度).

2. 连续型随机变量的概率密度函数 $f\left(x\right)$ 的性质

(1) $f\left(x\right)\ge 0$;

(2) ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)\mathrm{d}x=1$.

3. 连续型随机变量的概率密度与分布函数以及事件概率的关系

( 1 )若 $X$ 的概率密度为 $f\left(x\right)$,则 $X$ 的分布函数为 $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t$,当 $f\left(x\right)$ 为分段函数时其分布函数 $F\left(x\right)$ 要做分段讨论;

(2)若 $f\left(x\right)$ 在点 $x$ 处连续,则有 $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$;

(3) $P\{a<X\le b\}=P\{a<X<b\}=P\{a\le X<b\}=P\{a\le X\le b\}$

$$=F\left(b\right)-F\left(a\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x;$$

(4) $P\{X=a\}=0\left(-\infty <a<+\infty \right)$.

4. 重要分布

(1)均匀分布:若连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}\left(\text{ 如图 }2-3-1\right)$$

则称 $X$ 服从 $\left[a,b\right]$ 上的均匀分布.

图 2-3-1

图 $2-3-2$

(2)指数分布:若连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}\text{ (如图 }2-3-2\text{ ) }$$

其中 $\lambda >0$,则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布.

(3)正态分布:若连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\mathrm{e}}^{\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}\left(-\infty <x<+\infty \right)\text{(如图 2-3-3)}$$

其中 $\mu$ 与 $\sigma >0$ 都是常数,则称 $X$ 服从参数为 $\mu$ 和 $\sigma$ 的正态分布. 简记为 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$.

图 2-3-3

图 2-3-4

(4)标准正态分布: 当 $\mu =0,\sigma =1$ 时称 $X$ 服从标准正态分布,简记为 $X\sim N\left(0,1\right)$,其概率密度函数和分布函数分别用 $\phi \left(x\right),\Phi \left(x\right)$ 表示,即有

$$\phi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\text{ (如图 2-3-4) }$$ $$\Phi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$$

性质 1 $\Phi$ $\left(-x\right)=1-\Phi \left(x\right)$

性质 2 当 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 时, $U=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N\left(0,1\right)$. 即 $F\left(x\right)=\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$.