题型 1 关于分布律的性质

2.1

当 $C=$ ?? 时, $P\{X=k\}=C\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^k\left(k=1,2,3,\cdots \right)$ 才能成为随机变量 $X$ 的分布列.

解

由分布列的性质 $\sum _k{p}_k=1$,所以

$$\sum _{k=1}^{\infty }C\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^k=1\text{ 即 }C\left[\frac{2}{3}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\cdots \right]=1$$

所以 $C\cdot \frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=1,C=\frac{1}{2}$

所以当 $C=\frac{1}{2}$ 时, $P\{X=k\}=C\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^k$ 才能成为随机变量的分布列.

2.2

设随机变量 $X$ 的可能取值为 -1,0,1, 且取这三个值的概率之比为 $1:2:3$, 则 $X$ 的概率分布为_____.

解

记 $X\sim \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ p_1& p_2& p_3\end{array}\right]$,依题意 $p_1:p_2:p_3=1:2:3$ 而

$$p_1+p_2+p_3=1\text{ 即 }{p}_1+2p_1+3p_1=1$$

故

$$p_1=\frac{1}{6},p_2=\frac{1}{3},p_3=\frac{1}{2}$$ X \sim \left\lbrack \begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right\rbrack $