题型 2 利用随机变量的分布求概率

题型 2: 利用随机变量的分布求概率

【5.11】设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<1\\ \ln x,& 1\le x<\mathrm{e}\\ 1,& x\ge \mathrm{e}\end{array}$

(1) 求 $P\{X<2\},P\{0<X\le 3\},P\left\{2<X<\frac{5}{2}\right\}$;

(2)求概率密度函数 $f_X\left(x\right)$.

解 (1) $P\{X<2\}=F_X\left(2\right)=\ln 2$

$P\{0<X\le 3\}=F_X\left(3\right)-F_X\left(0\right)=1-0=1$

$P\left\{2<X<\frac{5}{2}\right\}=F_X\left(\frac{5}{2}\right)-F_X\left(2\right)=\ln \frac{5}{2}-\ln 2=\ln \frac{5}{4}$

(2) $f_X\left(x\right)=F_X{}^{\prime }\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 1<x<\mathrm{e}\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$ 概率论与数理统计习题精选精解

【5.12】某公共汽车从上午 $7:00$ 起每隔 15 分钟有一趟班车经过某车站,即 $7:00,7:15,7:$ $30,\cdots$ 时刻有班车到达此车站,如果某乘客是在 7:00 至 7:30 等可能地到达此车站候车,问他等候不超过 5 分钟便乘上汽车的概率.

解 设乘客于 7 点过 $X$ 分钟到达车站,则 $X\sim U\left[0,30\right]$,即其概率密度为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{30},& 0\le x\le 30\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

于是该乘客等候不超过 5 分钟便能乘上汽车的概率为

$$P\{10\le X\le 15\text{ 或 }25\le X\le 30\}=P\{10\le X\le 15\}+P\{25\le X\le 30\}$$ $$={\int }_{10}^{15}\frac{1}{30}\mathrm{d}x+{\int }_{25}^{30}\frac{1}{30}\mathrm{d}x=\frac{5}{30}+\frac{5}{30}=\frac{1}{3}$$

【5.13】设 $X$ 是在 $\left[0,1\right]$ 上取值的连续型随机变量,且 $P\{X\le 0.29\}=0.75$. 如果 $Y=1-$ $X$,则 $k=$ _____时, $P\{Y\le k\}=0.25$.

解 $P\{Y\le k\}=P\{1-X\le k\}=P\{X\ge 1-k\}=1-P\{X<1-k\}=0.25$

所以 $P\{X<1-k\}=0.75$,则 $1-k=0.29$.

即 $k=0.71$.

【5.14】设 $X\sim \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{4}& \frac{3}{4}\end{array}\right],P\left\{Y=-\frac{1}{2}\right\}=1$,又 $n$ 维向量 ${\alpha }_1$ 、 ${\alpha }_2$ 、 ${\alpha }_3$ 线性无关,则 ${\alpha }_1+{\alpha }_2$, ${\alpha }_2+2{\alpha }_3,X{\alpha }_3+Y{\alpha }_1$ 线性相关的概率为( ).

(A) $\frac{3}{4}$ (B) $\frac{1}{4}$ (C) 1 (D) $\frac{1}{2}$

解 ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+2{\alpha }_3,X{\alpha }_3+Y{\alpha }_1$ 线性相关 $\iff \left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 2\\ Y& 0& X\end{array}\right|=X+2Y=0$

$$P\{X+2Y=0\}=P\left\{X+2Y=0,Y=-\frac{1}{2}\right\}=P\left\{X=1,Y=-\frac{1}{2}\right\}$$ $$=P\{X=1\}=\frac{3}{4}$$

故应选(A).

【5.15】连续型随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{A}{\sqrt{1-x^2}},& \left|x\right|<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

求: (1) 系数 $A$;

(2) $X$ 落在区间 $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 内的概率；

(3) $X$ 的分布函数.

解 (1) 因为 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }p\left(x\right)\mathrm{d}x=1$,故

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }p\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{-1}^1\frac{A}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x={A\arcsin x|}_{-1}^1=A\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)=1$$

由此得 $A=\frac{1}{\pi }$

(2) $P\left\{-\frac{1}{2}<X<\frac{1}{2}\right\}={\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\pi }\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x={\frac{1}{\pi }\arcsin x|}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$

(3)设 $X$ 的分布函数为 $F\left(x\right)$,当 $x\le -1$ 时

$$F\left(x\right)=P\{X\le x\}={\int }_{-\infty }^{x}p\left(t\right)\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{x}0\mathrm{d}t=0$$

当 $-1<x\le 1$ 时,

$$F\left(x\right)=P\{X\le x\}=P\{X\le -1\}+P\{-1<X\le x\}$$ $$={\int }_{-\infty }^{-1}0\mathrm{d}t+{\int }_{-1}^x\frac{1}{\pi \sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arcsin x$$

当 $x>1$ 时,

$$F\left(x\right)=P\{X\le x\}=P\{X\le -1\}+P\{-1<X\le 1\}+P\{1<X\le x\}$$ $$={\int }_{-\infty }^{-1}0\mathrm{d}t+{\int }_{-1}^1\frac{1}{\pi \sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t+{\int }_1^{x}0\mathrm{d}t=1$$

综合起来, 得

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le -1\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arcsin x,& -1<x\le 1\\ 1,& x>1\end{array}$$

【5.16】设随机变量 $X$ 的密度为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}cx,& 0\le x\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

求 (1) 常数 $c$;

(2) $P\{0.3<X<0.7\}$;

(3) 常数 $a$,使 $P\{X>a\}=P\{X<a\}$;

(4) $X$ 的分布函数 $F\left(x\right)$.

解 (1) 由性质 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}cx\mathrm{d}x=\frac{c}{2}=1$,可得 $c=2$.

(2) $P\{0.3<X<0.7\}={\int }_{0.3}^{0.7}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{0.3}^{0.7}2x\mathrm{d}x={x^2|}_{0.3}^{0.7}=0.4$.

(3) 因为 $P\{X>a\}+P\{X<a\}=1\left(P\{X=a\}=0\right)$,

而 $P\{X>a\}=P\{X<a\}$,

故 $P\{X>a\}=P\{X<a\}=\frac{1}{2}$,

即 ${\int }_{-\infty }^{a}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{a}2x\mathrm{d}x=a^2=\frac{1}{2}$,得 $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(4) $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t$

$$=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ {\int }_0^{x}2t\mathrm{d}t,& 0\le x<1\\ 1,& x\ge 1\end{array}$$ $$=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ x^2,& 0\le x<1\\ 1,& x\ge 1\end{array}$$

【5.17】进行某种试验,成功的概率为 $\frac{3}{4}$,失败的概率为 $\frac{1}{4}$. 以 $X$ 表示直到试验首次成功时所需试验的次数,写出 $X$ 的概率分布并求 $X$ 取偶数的概率.

解 由题意可知, $X\sim G\left(\frac{3}{4}\right)$,故 $X$ 的分布律为

$$P\{X=k\}=\frac{3}{4}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{k-1},k=1,2,\cdots .$$ $$P\{X=\text{ 偶数 }\}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{3}{4}{\left(\frac{1}{4}\right)}^3+\frac{3}{4}{\left(\frac{1}{4}\right)}^5+\cdots =\frac{3}{4}\cdot \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{16}}=\frac{1}{5}$$