题型 3 离散型随机变量的分布律与分布函数的关系

2.5

设一盒子内有 5 个小球, 2 个白的和 3 个黑的,如果从中任取 2 个,那么取到黑球数的分布函数是多少?

分析

对于未知概率分布的随机变量要求其分布函数的问题, 需先求出该随机变量的分布律.

解

令 $X$ 表示取到黑球的个数,因为 $X$ 为离散型随机变量,其全部可能取值为0,1,2,所以其分布律为

$$P\{X=k\}=\frac{C_3^k{C}_2^{2-k}}{C_5^2}\left(k=0,1,2\right)$$

得 $P\{X=0\}=0.1,P\{X=1\}=0.6,P\{X=2\}=0.3$

由 $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=P\{X\le x\}=\sum _{k\le x}{p}_k$$

得 $F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 0.1,& 0\le x<1\\ 0.7,& 1\le x<2\\ 1,& x\ge 2\end{array}$

点评

在求解离散型随机变量的分布函数时, 先通过概率公式求得分布律, 再应用

$$F\left(x\right)=P\{X\le x\}=\sum _{x_k\le x}{p}_k$$

这一公式, 这是最基本的方法.

2.6

设随机变量的分布函数为

$$F\left(x\right)=P\{X\le x\}=\{\begin{array}{ll}0,& \text{ 若 }x<-1\\ 0.4,& \text{ 若 }-1\le x<1\\ 0.8,& \text{ 若 }1\le x<3\\ 1,& \text{ 若 }x\ge 3.\end{array}$$

则 $X$ 的概率分布为____

解

方法一: 作图法

根据题意作出 $X$ 的分布函数 $F\left(x\right)$ 的图像(如图 2-2.6). 因为离散型随机变量的分布函数为阶梯型而且随机变量在间断点处取值概率不为零而是

图 2-2.6

跳跃幅度大小, 所以易得到

$$P\{X=-1\}=0.4,P\{X=1\}=0.4,P\{X=3\}=0.2.$$

方法二:公式法

由 $P\{X=x\}=P\{X\le x\}-P\{X<x\}=F\left(x\right)-F\left(x-0\right)$ 则 $P\{X=-1\}=F\left(-1\right)-F\left(-1-0\right)=0.4$

$$P\{X=1\}=F\left(1\right)-F\left(1-0\right)=0.8-0.4=0.4$$

$P\{X=3\}=F\left(3\right)-F\left(3-0\right)=1-0.8=0.2.$

点评

利用分布函数求解离散型随机变量的概率分布一般采用作图法或公式法.

离散型随机变量的统计规律一般用分布律来描述, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 也是研究随机变量的统计规律的重要工具, 但不如分布律直观简单.

2.7

设随机变量 $X$ 的分布律为分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}c,& x<-1\\ d,& -1\le x<0\\ \frac{3}{4},& 0\le x<1\\ e,& x\ge 1\end{array}$$

$X$	-1	0	1
$P$	$\frac{1}{4}$	$a$	$b$

求 $a,b,c,d,e$.

解

由分布函数性质:

$F\left(-\infty \right)=0$ 可知 $c=0$,

$F\left(+\infty \right)=1$ 可知 $e=1$,

由分布律与分布函数的关系

$$F\left(-1\right)=P\{X\le -1\}=P\{X=-1\}=\frac{1}{4},$$

可知 $d=\frac{1}{4}$.

$$F\left(0\right)=P\{X\le 0\}=P\{X=-1\}+P\{X=0\}=\frac{1}{4}+a=\frac{3}{4},$$

可知 $a=\frac{1}{2}$, 由分布律的性质 $\frac{1}{4}+a+b=1$,可得 $b=\frac{1}{4}$.