题型 4 利用分布律求概率

2.8

已知离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $-2,0,2,\sqrt{5}$,相应的概率依次为 $\frac{1}{a},\frac{3}{2a},\frac{5}{4a}$, $\frac{7}{8a}$,则 $P\{\left|X\right|\le 2\mid X\ge 0\}$ 为( ).

(A) $\frac{21}{29}$ (B) $\frac{22}{29}$ (C) $\frac{2}{3}$ (D) $\frac{1}{3}$

解

首先根据概率分布的性质求出常数 $a$ 的值,其次确定概率分布的具体形式,然后计算条件概率

$$\sum _{i=1}^{4}P\left\{X=x_i\right\}=\frac{1}{a}+\frac{3}{2a}+\frac{5}{4a}+\frac{7}{8a}=\frac{37}{8a}=1$$

解得 $a=\frac{37}{8}$,故

$X\sim \left[\begin{array}{cccc}-2& 0& 2& \sqrt{5}\\ \frac{8}{37}& \frac{12}{37}& \frac{10}{37}& \frac{7}{37}\end{array}\right]$

$P\{\left|X\right|\le 2\mid X\ge 0\}=\frac{P\{|X|\le 2,X\ge 0\}}{P\{X\ge 0\}}=\frac{P\{X=0\}+P\{X=2\}}{P\{X=0\}+P\{X=2\}+P\{X=\sqrt{5}\}}=\frac{22}{29}$

故应选 (B).

2.9

设随机变量的分布律为 $P\{X=k\}=\frac{1}{2^k}$, $k=1,2,\cdots$, 则 $P\{X=$ 偶数 $\}=$ _____, $P\{X\ge 5\}=$ _____.

解

$P\{X=$ 偶数 $\}=\sum _{k=1}^{\infty }P\{X=2k\}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{2k}}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$.

$P\{X\ge 5\}=\sum _{k=5}^{\infty }P\{X=k\}=\sum _{k=5}^{\infty }\frac{1}{2^k}=\frac{\frac{1}{2^5}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}.$

故应填 $\frac{1}{3};\frac{1}{16}$.