题型2 求离散型随机变量的分布律

方法与技巧

求离散型随机变量的分布律, 先要搞清楚其所有可能的取值. 然后计算随机变量取各相应值的概率. 计算应结合求随机事件概率的各种方法和概率基本公式.

2.3

一袋中有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取 3 只,以 $X$ 表示取出的 3 只球中的最大号码,写出随机变量 $X$ 的分布律.

解

从 5 只球中任取 3 只,有 $C_5^3=10$ 种取法,每种取法的概率为 $\frac{1}{10}$. 随机变量的可能值为 3,4,5.

当 $X=3$ 时,相当于取出 3 只球的号码为: $\{1,2,3\}$,故

$$P\{X=3\}=\frac{1}{10},$$

类似地

$$P\{X=4\}=\frac{3}{10};P\{X=5\}=\frac{6}{10},$$

所以 $X$ 的分布律为

$X$	3	4	5
$P$	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$

2.4

一辆汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等. 以 $X$ 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求 $X$ 的概率分布.

分析

$X$ 为离散型随机变量,其全部可能取值是0,1,2,3,再通过概率计算公式求得.

解

设 $A_i$ 为汽车在第 $i$ 个路口遇到红灯, $i=1,2,3$. 因为 $A_1,A_2,A_3$,相互独立,所以

$$P\{X=0\}=P\left(A_1\right)=\frac{1}{2}$$ $$P\{X=1\}=P\left({\bar{A}}_1{A}_2\right)=P\left({\bar{A}}_1\right)P\left(A_2\right)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$$ $$P\{X=2\}=P\left({\bar{A}}_1{\bar{A}}_2{A}_3\right)=P\left({\bar{A}}_1\right)P\left({\bar{A}}_2\right)P\left(A_3\right)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2^3}$$ $$P\{X=3\}=P\left({\bar{A}}_1{\bar{A}}_2{\bar{A}}_3\right)=P\left({\bar{A}}_1\right)P\left({\bar{A}}_2\right)P\left({\bar{A}}_3\right)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2^3}.$$

所以 $X$ 的分布律为

X	0	1	2	3
P	1/2	1/4	1/8	1/8