4. 随机变量的独立性

4. 随机变量的独立性

知识要点

1. 随机变量的独立性 若二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 对任意实数均有

$P\{X\le x,Y\le y\}=P\{X\le x\}P\{Y\le y\},$ 即 $F\left(x,y\right)=F_X\left(x\right)\cdot F_Y\left(y\right),$ 则 $X$ 与 $Y$ 相互独立.

2. 离散型随机变量相互独立的充要条件

$$p_{ij}=p_i\cdot p_{\cdot j},i,j=1,2,\cdots .$$

3. 连续型随机变量相互独立的充要条件

$$f\left(x,y\right)=f_X\left(x\right)\cdot f_Y\left(y\right),x,y\text{任意实数.}$$

基本题型

题型 1. 随机变量独立性的判断问题

【4.1】设随机变量 $X_1$ 和 $Y_2$ 的概率分布为

$$X_1\sim \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right]$$ $$X_2\sim \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

而且 $P\left\{X_1{X}_2=0\right\}=1$.

试求: (1) $X_1$ 和 $X_2$ 的联合分布; (2) $X_1$ 和 $X_2$ 是否独立?

解 (1) 因为 $P\left\{X_1{X}_2=0\right\}=1$,所以有 $P\left\{X_1{X}_2\ne 0\right\}=0$,因此

$$P\left\{X_1=-1,X_2=1\right\}=P\left\{X_1=1,X_2=1\right\}=0$$

那么 $P\left\{X_1=-1,X_2=0\right\}=P\left\{X_1=-1\right\}=\frac{1}{4}$

$$P\left\{X_1=0,X_2=0\right\}=P\left\{X_2=1\right\}=\frac{1}{2}$$ $$P\left\{X_1=1,X_2=0\right\}=P\left\{X_1=1\right\}=\frac{1}{4}$$ $$P\left\{X_1=0,X_2=0\right\}=1-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=0$$

$X_1$ 和 $X_2$ 的联合分布列表为

${X}_{1}$ ${X}_{2}$	-1	0	1	$P\left\{ {{X}_{2} = j}\right\}$
0	$\frac{1}{4}$	0	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
1	0	$\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$
$P\left\{ {{X}_{1} = i}\right\}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	1

(2) 由于 $P\left\{X_1=0,X_2=0\right\}=0\ne P\left\{X_1=0\right\}P\left\{X_2=0\right\}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$,所以 $X_1$ 与 $X_2$ 不相互独立.

点评 两随机变量独立的充要条件是解决相互独立性问题最直接最重要的方法.

【4.2】设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的联合概率密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1+xy}{4},& \left|x\right|<1,\left|y\right|<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

证明 $X$ 与 $Y$ 不独立,但 $X^2$ 与 $Y^2$ 独立.

证 对 $X,Y$ 而言:

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& \left|x\right|<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}{f}_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& \left|y\right|<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

因为 $f\left(x,y\right)\ne f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)$,所以 $X,Y$ 不独立.

而

$$F_U\left(u\right)=P\left\{X^2\le u\right\}=\{\begin{array}{ll}0,& u<0\\ \sqrt{u},& 0\le u<1\\ 1,& u\ge 1\end{array}$$ $$F_V\left(v\right)=P\left\{Y^2\le v\right\}=\{\begin{array}{ll}0,& v<0\\ \sqrt{v},& 0\le v<1\\ 1,& v\ge 1\end{array}$$

$U=X^2,V=Y^2$ 的联合分布函数为

$$F\left(u,v\right)=P\left\{X^2\le u,Y^2\le v\right\}=\{\begin{array}{ll}0,& u<0\text{ 或 }v<0\\ \sqrt{uv},& 0\le u<1,0\le v<1\\ \sqrt{u},& 0\le u<1,1\le v\\ \sqrt{v},& 1\le u,0\le v<1\\ 1,& 1\le u,1\le v\end{array}$$

可见,对 $U=X^2,V=Y^2$ 而言,有 $F\left(u,v\right)=F_U\left(u\right)F_V\left(v\right)$ 即 $X^2$ 和 $Y^2$ 相互独立.

【4.3】设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}Ax{y}^2,& 0<x<1,0<y<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

求:(1)常数 $A$;(2)证明 $X$ 与 $Y$ 相互独立.

解 (1) 由性质 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$,可知 $\frac{A}{6}=1$,则 $A=6$.

(2)边缘密度为

$$f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$ $$f_Y\left(y\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}3y^2,& 0<y<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

显然, $f\left(x,y\right)=f_X\left(x\right)\cdot f_Y\left(y\right)$.

故 $X,Y$ 相互独立.

【4.4】一个电子仪器由两个部件构成,以 $X$ 和 $Y$ 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时). 已知 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数为:

$$F\left(x,y\right)=\{\begin{array}{l}1-{\mathrm{e}}^{-0.5x}-{\mathrm{e}}^{-0.5y}+{\mathrm{e}}^{-0.5\left(x+y\right)},\\ 0,\end{array}$$

若 $x\ge 0,y\ge 0$ 其他

(1)问 $X$ 和 $Y$ 是否独立?

(2)求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率 $\alpha$.

解 (1) 由 $F\left(x,y\right)$ 易知 $X,Y$ 的边缘分布函数

$$F_X\left(x\right)=F\left(x,+\infty \right)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-0.5x},& x\ge 0\\ 0,& x<0.\end{array}$$ $$F_Y\left(y\right)=F\left(+\infty ,y\right)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-0.5y},& y\ge 0\\ 0,& y<0.\end{array}$$

因为若 $x\ge 0,y\ge 0$,有

$$F_X\left(x\right)F_Y\left(y\right)=\left(1-{\mathrm{e}}^{-0.5x}\right)\left(1-{\mathrm{e}}^{-0.5y}\right)=1-{\mathrm{e}}^{-0.5x}-{\mathrm{e}}^{-0.5y}+{\mathrm{e}}^{-0.5\left(x+y\right)}$$

当 $x,y$ 为其他情况时, $F_X\left(x\right)F_Y\left(y\right)=0$.

所以对任意实数 $x,y$ 都有 $F\left(x,y\right)=F_X\left(x\right)F_Y\left(y\right)$,故 $X$ 与 $Y$ 相互独立.

(2)由题意可知

$$\alpha =P\{X>0.1,Y>0.1\}=P\{X>0.1\}P\{Y>0.1\}$$ $$=\left[1-F_X\left(0.1\right)\right]\left[1-F_Y\left(0.1\right)\right]={\mathrm{e}}^{-0.05}{\mathrm{e}}^{-0.05}={\mathrm{e}}^{-0.1}$$

题型 2. 独立性的应用

【4.5】设 $\left(\xi ,\eta \right)$ 的联合分布律为:

$\eta$ ξ	0	1	2
-1	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{18}$
1	$\frac{1}{3}$	$A$	$B$

试求: $A\text{、}B$ 为何值时随机变量 $\xi ,\eta$ 相互独立.

分析 对于此类确定概率的问题需要考虑的是 $\xi ,\eta$ 独立的充要条件是对一切 $i,j$ 都要满足 $p_{ij}=p_i\cdot p_{\cdot j}.$

解 由 $\left(\xi ,\eta \right)$ 的联合分布律可得到

$$p_1.=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}=\frac{1}{3},p_2.=\frac{1}{3}+A+B,$$ $$p_{.1}=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2},p_{.2}=\frac{1}{9}+A,p_{.3}=\frac{1}{18}+B.$$

若 $\xi ,\eta$ 相互独立,则必有对一切 $i,j$ 均满足 $p_{ij}=p_i.p_{\cdot j}$,得

$$\{\begin{array}{l}{p}_1\cdot p_{1\cdot 1}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}\\ p_1\cdot p_{2\cdot 2}=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{9}+A\right)=\frac{1}{9}\\ p_1\cdot p_{3\cdot 2}=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{18}+B\right)=\frac{1}{18}\\ p_2\cdot p_{1\cdot 1}=\left(\frac{1}{3}+A+B\right)\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}\\ p_2\cdot p_{2\cdot 2}=\left(\frac{1}{3}+A+B\right)\times \left(\frac{1}{9}+A\right)=A\\ p_3\cdot p_{3\cdot 3}=\left(\frac{1}{3}+A+B\right)\times \left(\frac{1}{9}+B\right)=B\end{array}$$

解方程组得 $A=\frac{2}{9},B=\frac{1}{9}$.

【4.6】设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立,下表列出随机变量 $\left(X,Y\right)$ 联合分布律及关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中空白处.

Y $X$	${y}_{1}$		${y}_{3}$	$P\left\{ {X = {x}_{i}}\right\} = {p}_{i}.$
${x}_{1}$		$\frac{1}{8}$
${x}_{2}$	$\frac{1}{8}$
$P\left\{ {Y = {y}_{j}}\right\} = {p}_{\cdot j}$	$\frac{1}{6}$			1

分析 运用边缘分布公式及随机变量的独立性,题中只有先考察 $j=1$ 时的情况才可逐次求出其他值.

解 因为 $p_{.1}=\sum _{i=1}^2{p}_{i1}=\frac{1}{6}=p_{11}+p_{21}=p_{11}+\frac{1}{8}$,得 $p_{11}=\frac{1}{24}$.

由独立性, $p_{11}=p_1.\cdot p_{\cdot 1}$ 即 $\frac{1}{24}=p_1.\cdot \frac{1}{6}$,故 $p_1.=\frac{1}{4}$.

同理其余值依次求出: $p_{13}=\frac{1}{12},p_{22}=\frac{3}{8},p_{23}=\frac{1}{4}$

$p_{.2}=\frac{1}{2},p_{.3}=\frac{1}{3},p_{2.}=\frac{3}{4}$

所以列表得概率论与数理统计习题精选精解

$Y$ $X$	${y}_{1}$	${y}_{2}$	${y}_{3}$	$P\left\{ {X = {x}_{i}}\right\} = {p}_{i}.$
${x}_{1}$	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$
${x}_{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$
$P\left\{ {Y = {y}_{j}}\right\} = {p}_{\cdot j}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	1

【4.7】设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立,它们的密度函数分别为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}{f}_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-y},& y>0\\ 0,& y\le 0\end{array}$$

求: $\left(1\right)\left(X,Y\right)$ 的密度函数; $\left(2\right)P\{X\le 1\mid Y>0\}$.

解 (1) 因为随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立,

$$f\left(x,y\right)=f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)},& x>0,y>0\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

(2) $P\{X\le 1\mid Y>0\}=\frac{P\{X\le 1,Y>0\}}{P\{Y>0\}}=\frac{{\int }_{-\infty }^1{\int }_0^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\int }_0^{+\infty }{f}_Y\left(y\right)\mathrm{d}y}=1-{\mathrm{e}}^{-1}$.

或者由独立性:

$$P\{X\le 1\mid Y>0\}=P\{X\le 1\}=F_X\left(1\right)=1-{\mathrm{e}}^{-1}.$$

【4.8】设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立,且 $X$ 和 $Y$ 的概率分布分别为

Y	-1	0	1
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

则 $P\{X+Y=2\}=$ _____.

(A) $\frac{1}{12}$ (B) $\frac{1}{8}$ (C) $\frac{1}{6}$ (D) $\frac{1}{2}$

解 $P\{X+Y=2\}=P\{X=1,Y=1\}+P\{X=2,Y=0\}+P\{X=3,Y=-1\}$

$=P\{X=1\}P\{Y=1\}+P\{X=2\}P\{Y=0\}+P\{X=3\}P\{Y=-1\}$

$=\frac{1}{6}$.

故应选 (C).

【4.9】设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,且均服从区间 $\left[0,3\right]$ 上的均匀分布,则 $P\{\max \{X,Y\}\le$ $1\}=$ _____.

解法一 $X$ 与 $Y$ 具有相同的概率密度

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& 0\le x\le 3\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

则 $P\{X\le 1\}=P\{Y\le 1\}=\frac{1}{3}$. 中 98

由 $X,Y$ 独立性可知:

$$P\{\max \{X,Y\}\le 1\}=P\{X\le 1,Y\le 1\}$$ $$=P\{X\le 1\}P\{Y\le 1\}=\frac{1}{9}.$$

解法二 本题也可运用几何概率计算:

$$P\{\max \{X,Y\}\le 1\}=P\{X\le 1,Y\le 1\}=\frac{S\text{ 阴影 }}{S}=\frac{1}{9}$$

(图 3-4.9)

图 3-4.9