知识要点 边缘分布

1. 边缘分布函数

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的分布函数为 $F\left(x,y\right)$,分别称函数

$F_X\left(x\right)=\underset{y\to +\infty }{\lim }F\left(x,y\right)=F\left(x,+\infty \right)$ 和 $F_Y\left(y\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }F\left(x,y\right)=F\left(+\infty ,y\right)$ 为 $\left(X,Y\right)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布函数.

2. 边缘分布律

设二维离散型随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的联合分布律为 $P\left\{X=x_i,Y=y_j\right\}=p_{ij}$, 则分别称

$$p_{i\cdot }=\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=P\left\{X=x_i\right\}\left(i=1,2,3,\cdots \right)$$

和

$$p_{\cdot j}=\sum _{i=1}^{\infty }{p}_{ij}=P\left\{Y=y_j\right\}\left(j=1,2,3,\cdots \cdots \right)$$

为 $\left(X,Y\right)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布律.

3. 边缘概率密度

设二维连续型随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为 $f\left(x,y\right)$,则 $f_X\left(x\right)=$ ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y$ 和 $f_Y\left(y\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x$ 分别称为 $\left(X,Y\right)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度.

4. 常用的二维分布

(1)二维均匀分布:如果二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 有概率密度

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{A},& \left(x,y\right)\in G\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

其中 $G$ 为平面有界区域, $A$ 为其面积,则称 $\left(X,Y\right)$ 在 $G$ 上服从二维均匀分布.

(2)二维正态分布:如果二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$f\left(x,y\right)$

$$\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-{\rho }^2\right)}\left[\frac{{\left(x-{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{\left(x-{\mu }_1\right)\left(y-{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{{\left(y-{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}$$ $$-\infty <x,y<+\infty ,$$

其中 ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho$ 均为常数,且 ${\sigma }_1>0,{\sigma }_2>0,-1<\rho <1$,则称 $\left(X,Y\right)$ 服从参数为 ${\mu }_1,{\mu }_2$, ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho$ 的二维正态分布,记作

$$\left(X,Y\right)\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2;{\mu }_2,{\sigma }_2^2;\rho \right).$$

特别,当 ${\mu }_1={\mu }_2=0,{\sigma }_1={\sigma }_2=1$ 时,则称 $\left(X,Y\right)$ 服从标准正态分布.

性质: $\left(X,Y\right)\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2;{\mu }_2,{\sigma }_2^2;\rho \right)\Rightarrow X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$. 逆命题不成立.