题型 1. 联合分布律与边缘分布律

2.1

设随机变量 $X$ 在1,2,3,4四个整数中随机地取一值,另一随机变量 $Y$ 在 1 到 $X$ 中随机地取一整数. 求 $\left(X,Y\right)$ 的分布律及 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布.

解

$X$ 可能的取值为 $i=1,2,3,4,Y$ 可能的取值为 $j=1,\cdots ,i$. 由乘法定理得

$$P\{X=i,Y=j\}=P\{Y=j\mid X=i\}\cdot P\{X=i\}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{i},& j\le i\\ 0,& j>i\end{array}$$

故得 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律为

$X$ Y	1	2	3	4
1	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{16}$
2	0	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{16}$
3	0	0	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{16}$
4	0	0	0	$\frac{1}{16}$

利用 $p_{i\cdot }=\sum _j{p}_{ij}$ 和 $p_{\cdot j}=\sum _i{p}_{ij}$,求出 $\left(X,Y\right)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布律,并写在联合分布律表格的边缘上, 可得下表

$X$ Y	1	2	3	4	$P\left\{ {Y = {y}_{j}}\right\} = {p}_{\cdot j}$
1	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{25}{48}$
2	0	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{13}{48}$
3	0	0	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{7}{48}$
4	0	0	0	$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{48}$
$P\left\{ {X = {x}_{i}}\right\} = {p}_{i}.$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	1

2.2

设随机变量 $X_i\sim \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right]\left(i=1,2\right)$,且满足 $P\left\{X_1{X}_2=0\right\}=1$,则 $P\{X_1$ $=X_2\}$ 等于( ).

(A) 0 (B) $\frac{1}{4}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) 1

分析

$P\left\{X_1{X}_2=0\right\}=1$ 是解决本题的关键,隐含了 $P\left\{X_1{X}_2\ne 0\right\}=0$. 由此条件再根据联合分布及边缘分布的关系计算.

解

由 $P\left\{X_1{X}_2=0\right\}=1\Rightarrow P\left\{X_1{X}_2\ne 0\right\}=0$,即

$P\left\{X_1=-1,X_2=-1\right\},P\left\{X_1=-1,X_2=1\right\},P\left\{X_1=1,X_2=-1\right\},P\left\{X_1=1,X_2=1\right\}$ 均为 0.

由以上条件求出, $X_1,X_2$ 的联合概率分布如下表所示

${X}_{2}$ ${X}_{1}$	-1	0	1	${p}_{i \cdot }$
-1	0	$\frac{1}{4}$	0	$\frac{1}{4}$
0	$\frac{1}{4}$	0	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
1	0	$\frac{1}{4}$	0	$\frac{1}{4}$
${p}_{\cdot j}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	1

那么 $P\left\{X_1=X_2\right\}=P\left\{X_1=-1,X_2=-1\right\}+P\left\{X_1=0,X_2=0\right\}+P\left\{X_1=1,X_2=1\right\}=0$.

点评

列表法是解决联合分布和边缘分布问题常用的方法, 直观明显.

2.3

假设随机变量 $Y$ 服从 $\left(0,3\right)$ 上的均匀分布,随机变量

$$X_k=\{\begin{array}{ll}0,& Y\le k\\ 1,& Y>k\end{array}\left(k=1,2\right).$$

求 $X_1$ 和 $X_2$ 的联合概率分布和边缘分布.

解

$\left(X_1,X_2\right)$ 有四个可能值: $\left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(1,0\right),\left(1,1\right)$.

易见

$$P\left\{X_1=0,X_2=0\right\}=P\{Y\le 1,Y\le 2\}=P\{Y\le 1\}=\frac{1}{3}$$

$P\left\{X_1=0,X_2=1\right\}=P\{Y\le 1,Y>2\}=0$

$P\left\{X_1=1,X_2=0\right\}=P\{Y>1,Y\le 2\}=P\{1<Y\le 2\}=\frac{1}{3}$

$$P\left\{X_1=1,X_2=1\right\}=P\{Y>1,Y>2\}=P\{Y>2\}=\frac{1}{3}$$

于是, $X_1$ 和 $X_2$ 联合概率分布表如下:

${X}_{1}$
${X}_{2}$	0	1
0	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
1	0	$\frac{1}{3}$

由联合分布可求得 $X_1,X_2$ 的边缘分布,合并列表为:

${X}_{1}$ ${X}_{2}$	0	1	${p}_{\cdot j}$
0	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$
1	0	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
${p}_{i \cdot }$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	1