题型 2. 联合分布函数与边缘分布函数

2.4 已知二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的分布函数为

$$F\left(x,y\right)=\frac{1}{{\pi }^2}\left(\frac{\pi }{2}+\arctan \frac{x}{2}\right)\left(\frac{\pi }{2}+\arctan \frac{y}{2}\right)$$ $$\left(-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty \right).$$

试求 $\left(X,Y\right)$ 关于 $X,Y$ 的边缘分布函数.

解 分别运用公式得

$$F_X\left(x\right)=F\left(x,+\infty \right)=\frac{1}{\pi }\left(\frac{\pi }{2}+\arctan \frac{x}{2}\right)\left(-\infty <x<+\infty \right)$$ $$F_Y\left(y\right)=F\left(+\infty ,y\right)=\frac{1}{\pi }\left(\frac{\pi }{2}+\arctan \frac{y}{2}\right)\left(-\infty <y<+\infty \right)$$