题型 3. 联合概率密度与边缘密度

题型 3. 联合概率密度与边缘密度

【2.5】设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-y},& 0<x<y\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

(1)求随机变量 $X$ 的密度 $f_X\left(x\right)$;

(2)求概率 $P\{X+Y\le 1\}$.

解 (1) 由联合密度与边缘概率密度关系可知

$$f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y.$$

当 $x\le 0$ 时, $f\left(x,y\right)=0,f_X\left(x\right)=0$

图 3-2.5

当 $x>0$ 时, $f_X\left(x\right)={\int }_x^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}y={\mathrm{e}}^{-x}$

所以 $f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& x>0\\ 0,& x\le 0.\end{array}$

(2)根据题意,作图 3-2.5

$$P\{X+Y\le 1\}={\iint }_{x+y\le 1}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x{\int }_x^{1-x}{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}y$$ $$=1-\frac{2}{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{\mathrm{e}}$$

点评 由联合密度求边缘密度时,要注意讨论范围及积分定限,必要时将 $f\left(x,y\right)$ 的非零区域用图形表示,便于分析.

【2.6】设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\frac{1}{x}$ 及直线 $y=0,x=1,x={\mathrm{e}}^2$ 所围成. 二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布,则 $\left(X,Y\right)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度在 $x=2$ 处的值为_____.

解 区域 $D$ 的面积

$$S_D={\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}\frac{1}{x}\mathrm{d}x={\ln x|}_1^{{\mathrm{e}}^2}=2$$

所以二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的联合分布密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& \text{ 当 }\left(x,y\right)\in D\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

则 $\left(X,Y\right)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度

$$f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y={\int }_0^{\frac{1}{x}}\frac{1}{2}\mathrm{d}y={\frac{1}{2x},f_X\left(x\right)|}_{x=2}=\frac{1}{4}$$

故应填 $\frac{1}{4}$.

题型 4 : 关于重要的二维分布

【2.7】设 $\left(X,Y\right)$ 服从区域 $D$ 上的均匀分布,其中 $D:x\ge y,0\le x\le 1,y\ge 0$,求 $P\{X+Y$ $\le 1\}$.

解法一 因为 $D$ 的面积 $A=\frac{1}{2}$,所以 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}2,& \left(x,y\right)\in D\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

图 3-2.7

则 $P\{X+Y\le 1\}={\iint }_{x+y\le 1}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

$={\iint }_{D_1}2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ (如图 3-2.7)

$=2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

解法二 可利用几何概率计算

$$P\{X+Y\le 1\}=\frac{S\left(D_1\right)}{S\left(D\right)}=\frac{1}{2}.$$

点评 二维均匀分布求概率可以利用几何概型来计算, 更加简便.

【2.8】设 $\left(X,Y\right)$ 服从二维正态分布,概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\frac{1}{2\pi \times {10}^2}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2\times {10}^2}},$$

图 3-2.8

求 $P\{Y\ge X\}$.

解 $P\{Y\ge X\}={\iint }_{y\ge x}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ (如图 3-2.8)

$$={\iint }_{y\ge x}\frac{1}{2\pi \times {10}^2}{\mathrm{e}}^{\frac{x^2+y^2}{2\times {10}^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

(利用极坐标法)

$$=\frac{1}{2\pi \times {10}^2}{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\frac{r^2}{2\times {10}^2}}\cdot r\mathrm{d}r$$ $$=-\frac{1}{2}{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{\frac{r^2}{2\times {10}^2}}\mathrm{d}\left(-\frac{r^2}{2\times {10}^2}\right)=-{\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\frac{r^2}{2\times {10}^2}}|}_0^{+\infty }$$ $$=\frac{1}{2}\text{.}$$