题型 2. 关于重要性质及结论

3.5

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的的相关系数为 0.5, $EX=EY=0,E{X}^2=E{Y}^2=2$,则 $E{\left(X+Y\right)}^2=$ _____.

解法一

由已知条件 $EX=EY=0,E{X}^2=E{Y}^2=2$,得到, $DX=E{X}^2-{\left(EX\right)}^2=2$ 同理 $DY=2$. 所以

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)& ={\rho }_{XY}\sqrt{DX}\sqrt{DY}\\ & =0.5\times 2\\ & =1,\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{rl}E{\left(X+Y\right)}^2& =D\left(X+Y\right)+{\left[E\left(X+Y\right)\right]}^2\\ & =D\left(X+Y\right)+{\left(EX+EY\right)}^2.\end{array}$$

由 $EX,EY=0$,得

$$\begin{array}{rl}E{\left(X+Y\right)}^2& =D\left(X+Y\right)\\ & =DX+DY+2\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)\\ & =2+2+2\times 1\\ & =6.\end{array}$$

解法二

$$\begin{array}{rl}E{\left(X+Y\right)}^2& =E{X}^2+2E\left(XY\right)+E{Y}^2\\ & =4+2\left[\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)+EX\cdot EY\right]\\ & =4+2{\rho }_{XY}\sqrt{DX}\sqrt{DY}\\ & =4+2\times 0.5\times 2\\ & =6.\end{array}$$

3.6

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n\left(n>1\right)$ 独立同分布,且其方差为 ${\sigma }^2>0$. 令 $Y=\frac{1}{n}$ $\sum _{i=1}^n{X}_i$,则_____.

(A) $\mathrm{Cov}\left(X_1,Y\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}$ (B) $\mathrm{Cov}\left(X_1,Y\right)={\sigma }^2$

(C) $D\left(X_1+Y\right)=\frac{n+2}{n}{\sigma }^2$ (D) $D\left(X_1-Y\right)=\frac{n+1}{n}{\sigma }^2$

解

本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可, 注意利用独立性有:

$$\mathrm{Cov}\left(X_1,X_i\right)=0,i=2,3,\cdots ,n$$ $$\mathrm{Cov}\left(X_1,Y\right)=\mathrm{Cov}\left(X_1,\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\frac{1}{n}\mathrm{Cov}\left(X_1,X_1\right)+\frac{1}{n}\sum _{i=2}^n\mathrm{Cov}\left(X_1,X_i\right)$$ $$=\frac{1}{n}D{X}_1=\frac{1}{n}{\sigma }^2.$$

本题 (C), (D) 两个选项的方差也直接计算得到: 如

$$D\left(X_1+Y\right)=D\left(\frac{1+n}{n}{X}_1+\frac{1}{n}{X}_2+\cdots +\frac{1}{n}{X}_n\right)=\frac{{\left(1+n\right)}^2}{n^2}{\sigma }^2+\frac{n-1}{n^2}{\sigma }^2$$ $$=\frac{n^2+3n}{n^2}{\sigma }^2=\frac{n+3}{n}{\sigma }^2,$$ $$D\left(X_1-Y\right)=D\left(\frac{n-1}{n}{X}_1-\frac{1}{n}{X}_2-\cdots -\frac{1}{n}{X}_n\right)=\frac{{\left(n-1\right)}^2}{n^2}{\sigma }^2+\frac{n-1}{n^2}{\sigma }^2$$ $$=\frac{n^2-n}{n^2}{\sigma }^2=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2.$$

故应选 (A).

3.7

将一枚硬币重复掷 $n$ 次,以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数等于_____.

(A) -1 (B) 0 (C) $\frac{1}{2}$ (D) 1

分析

根据本题的特点可通过相关系数的性质 “ $Y=aX+b\Rightarrow \left|{\rho }_{XY}\right|=1$ ” 求相关系数,亦可利用公式来求.

解法一

由题意可知 $X$ 和 $Y$ 的函数关系,即

$$X+Y=n,$$

又可表示为

$$Y=-X+n.$$

易知 $Y$ 与 $X$ 之间存在线性关系为负相关,

故 ${\rho }_{XY}=-1$.

解法二

利用相关系数公式计算.

$$\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=\mathrm{Cov}\left(X,n-X\right)=\mathrm{Cov}\left(X,n\right)-\mathrm{Cov}\left(X,X\right),$$

由 $\mathrm{Cov}\left(X,n\right)=0$,得

$$\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=-\mathrm{Cov}\left(X,X\right)=-D\left(X\right).$$

又由方差性质知 $D\left(Y\right)=D\left(-X+n\right)=D\left(X\right)$,所以

$${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)}{\sqrt{D\left(X\right)}\sqrt{D\left(Y\right)}}=\frac{-D\left(X\right)}{D\left(X\right)}=-1.$$

故应选 (A).

3.8

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数为 0.9,若 $Z=X-0.4$, 则 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数为 _____.

解

由于 $DZ=D\left(X-0.4\right)=DX$,而

$$\mathrm{Cov}\left(Y,Z\right)=\mathrm{Cov}\left(Y,X-0.4\right)=\mathrm{Cov}\left(Y,X\right),$$

因此

$${\rho }_{YZ}=\frac{\mathrm{Cov}\left(Y,Z\right)}{\sqrt{D\left(Y\right)}\sqrt{D\left(Z\right)}}=\frac{\mathrm{Cov}\left(Y,X\right)}{\sqrt{D\left(Y\right)}\sqrt{D\left(X\right)}}={\rho }_{YX}=0.9.$$

点评

本题也可利用重要结论直接得出: 由于 ${\rho }_{aX+b,cY+d}={\rho }_{X,Y}$ (当 $a,c$ 同号时),故

$${\rho }_{Y,Z}={\rho }_{Y,X-0.4}={\rho }_{Y,X}=0.9.$$

3.9

随机变量 $\left(X,Y\right)\sim N\left(0,1;0,4;\rho \right),D\left(2X-Y\right)=1$,则 $\rho =$ _____.

解

因为 $\left(X,Y\right)\sim N\left(0,1;0,4;\rho \right)$,故

$$EX=0,DX=1,EY=0,DY=4.$$

而 $D\left(2X-Y\right)=4DX+DY-4\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=1$,因此

$$\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=\frac{7}{4},$$

则

$${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)}{\sqrt{D\left(X\right)}\cdot \sqrt{D\left(Y\right)}}=\frac{\frac{7}{4}}{2}=\frac{7}{8}.$$

故应填 $\frac{7}{8}$.

3. 10

已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N\left(1,3^2\right)$ 和 $N\left(0,4^2\right)$, 且 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 ${\rho }_{XY}=-\frac{1}{2}$. 设 $Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$.

(1) 求 $Z$ 的数学期望 $EZ$ 和方差 $DZ$;

(2) 求 $X$ 与 $Z$ 的相关系数 ${\rho }_{XZ}$.

解

(1)

$$EZ=\frac{1}{3}EX+\frac{1}{2}EY=\frac{1}{3}+\frac{0}{2}=\frac{1}{3},$$ $$\begin{array}{rl}DZ& =\frac{1}{3^2}DX+\frac{1}{2^2}DY+2\mathrm{Cov}\left(\frac{X}{3},\frac{Y}{2}\right)\\ & =\frac{3^2}{3^2}+\frac{4^2}{2^2}+2\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{3}{3}\cdot \frac{4}{2}\\ & =1+4-2\\ & =3.\end{array}$$

(2)

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}\left(X,Z\right)& =\frac{1}{3}\mathrm{Cov}\left(X,X\right)+\frac{1}{2}\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)\\ & =\frac{1}{3}\cdot 3^2+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 3\cdot 4\\ & =0.\end{array}$$

所以 ${\rho }_{XZ}=\frac{\mathrm{Cov}\left(X,Z\right)}{\sqrt{D\left(X\right)}\cdot \sqrt{D\left(Z\right)}}=0.$

3. 11

设 $X,Y$ 是随机变量,且有 $E\left(X\right)=3,E\left(Y\right)=1$, $D\left(X\right)=4$, $D\left(Y\right)=9$, 令 $Z=5X$ $-Y+15$, 分别在下列三种情况下求 $E\left(Z\right)$ 和 $D\left(Z\right)$.

1. $X,Y$ 相互独立；
2. $X,Y$ 不相关;
3. $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 0.25.

解

对于 $E\left(Z\right)$ : 在 (1),(2),(3) 三种情形下都有

$$\begin{array}{rl}E\left(Z\right)& =E\left(5X-Y+15\right)\\ & =5E\left(X\right)-E\left(Y\right)+15\\ & =15-1+15\\ & =29.\end{array}$$

对于 $D\left(Z\right)$ :

(1) $X,Y$ 独立,则

$$\begin{array}{rl}D\left(Z\right)& =D\left(5X-Y+15\right)\\ & =D\left(5X\right)+D\left(Y\right)\\ & =25D\left(X\right)+D\left(Y\right)\\ & =25\times 4+9\\ & =109\text{.}\end{array}$$

(2) $X,Y$ 不相关, 即 $\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=0$,

$$D\left(Z\right)=D\left(5X\right)+D\left(Y\right)=109.$$

(3) ${\rho }_{XY}=0.25$,则

$$\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)={\rho }_{XY}\sqrt{D\left(X\right)}\sqrt{D\left(Y\right)}=1.5,$$ $$\begin{array}{rl}D\left(Z\right)& =D\left(5X-Y+15\right)\\ & =25D\left(X\right)+D\left(Y\right)-10\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)\\ & =100+9-10\times 1.5\\ & =94\text{.}\end{array}$$