题型 3. 关于重要分布的期望与方差

2.12

已知随机变量 $X$ 服从二项分布,且 $EX=2.4,DX=1.44$,则二项分布的参数 $n$, $p$ 的值为 ( ).

(A) $n=4,p=0.6$ (B) $n=6,p=0.4$

(C) $n=8,p=0.3$ (D) $n=24,p=0.1$

解

因为 $X$ 服从二项分布,参数为 $n,p$,所以 $EX=np,DX=npq$,且

$\{\begin{array}{l}np=2.4\\ np\left(1-p\right)=1.44\end{array}\text{ 解方程组可得 }\{\begin{array}{l}n=6\\ p=0.4\end{array}$

故选 (B).

2. 13

设 $X$ 服从参数为 $\lambda >0$ 的泊松分布,且已知 $E\left[\left(X-1\right)\left(X-2\right)\right]=1$,则 $\lambda =$ _____.

解

由 $X\sim P\left(\lambda \right)$ 有 $EX=DX=\lambda$ 且

$$E{X}^2={\left(EX\right)}^2+DX={\lambda }^2+\lambda$$

而

$$E\left[\left(X-1\right)\left(X-2\right)\right]=E\left(X^2-3X+2\right)=E{X}^2-3EX+2=1$$

得

$${\lambda }^2+\lambda -3\lambda +2=1\text{ 即 }{\lambda }^2-2\lambda +1=0$$

有 $\lambda =1$.

2. 14

设一次试验成功的概率为 $p$,进行 100 次独立重复试验,当 $p=$ ___ 时,成功次数的标准差最大,其最大值为_____.

解

成功次数 $X\sim B\left(100,p\right),DX=100p\left(1-p\right)$.

则 $\sqrt{DX}=10\sqrt{p\left(1-p\right)}$,显然当 $p=\frac{1}{2}$ 时,标准差 $\sqrt{DX}$ 最大,最大值为 5.

故应填 $\frac{1}{2};5$.

2.15

已知连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2+2x-1}$,则 $X$ 的数学期望为___； $X$ 的方差为 __.

解

最简便的方法是利用均值为 $\mu$,方差为 ${\sigma }^2$ 的正态分布的密度函数为

$$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}},$$

由于

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2+2x-1}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\mathrm{e}}^{\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2\cdot \frac{1}{2}}},$$

所以 $X$ 的数学期望是 1,方差是 $\frac{1}{2}$.

另外也可由数学期望和方差的定义直接求 $EX$ 和 $DX$.

2. 16

设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布,则 $P\{X>\sqrt{DX}\}=$ _____.

分析

已知连续型随机变量 $X$ 的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可.

解

由题设,知 $DX=\frac{1}{{\lambda }^2}$,于是

$$P\{X>\sqrt{DX}\}=P\left\{X>\frac{1}{\lambda }\right\}={\int }_{\frac{1}{\lambda }}^{+\infty }\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x=-{{\mathrm{e}}^{-\lambda \tau }|}_{\frac{1}{\lambda }}^{+\infty }=\frac{1}{\mathrm{e}}.$$

故应填 $\frac{1}{\mathrm{e}}$.

2.17

设随机变量 $X_1,X_2,X_3$ 相互独立,且都服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布. 令 $Y=\frac{1}{3}(X_1+$ $X_2+X_3)$,则 $Y^2$ 的数学期望等于_____.

解

根据独立随机变量和的性质以及服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布的随机变量数学期望和方差均为 $\lambda$ 知

$$EY=\frac{1}{3}\left(E{X}_1+E{X}_2+E{X}_3\right)=\lambda ,$$ $$DY=\frac{1}{9}\left(D{X}_1+D{X}_2+D{X}_3\right)=\frac{1}{3}\lambda ,$$

故 $E{Y}^2={\left(EY\right)}^2+DY={\lambda }^2+\frac{1}{3}\lambda$.

2.18

设电压 $\left(以V计\right)X\sim N\left(0,9\right)$,将电压施加于一检波器,其输出电压为 $Y=5X^2$,求输出电压的均值.

解

由 $X\sim N\left(0,9\right)$ 知 $EX=0,DX=9$,又 $Y=5X^2$,

故 $EY=E\left(5X^2\right)=5E{X}^2=5\left[DX+{\left(EX\right)}^2\right]=5\left(9+0\right)=45$.