题型 3. 独立与不相关的判断

3.12

设随机变量 $X$ 的概率分布密度为 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-|x|},-\infty <x<+\infty$

1. 求 $X$ 的数学期望 $E\left(X\right)$ 和方差 $D\left(X\right)$.
2. 求 $X$ 与 $\left|X\right|$ 的协方差, 并问 $X$ 与 $\left|X\right|$ 是否不相关？
3. 问 $X$ 与 $\left|X\right|$ 是否相互独立？为什么？

解

(1) $EX={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)\mathrm{d}x=0,$

$$DX={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{+\infty }{x}^2{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=2.$$

(2)

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}\left(X,\left|X\right|\right)& =E\left(X\left|X\right|\right)-EX\cdot E\left|X\right|\\ & =E\left(X\left|X\right|\right)\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left|x\right|f\left(x\right)\mathrm{d}x\\ & =0,\end{array}$$

故 $X$ 与 $\left|X\right|$ 不相关.

(3) 对于给定 $0<a<+\infty$, 显然事件 $\{\left|X\right|<a\}$ 包含在事件 $\{X<a\}$ 内, 且 $P\{X<a\}<1,0<P\{\left|X\right|<a\},$ 故 $P\{X<a,\left|X\right|<a\}=P\{\left|X\right|<a\},$ 但

$$P\{X<a\}\cdot P\{\left|X\right|<a\}<P\{\left|X\right|<a\},$$

所以

$$P\{X<a,\left|X\right|<a\}\ne P\{X<a\}\cdot P\{\left|X\right|<a\},$$

因此, $X$ 与 $\left|X\right|$ 不独立.

3. 13

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从正态分布, 且它们不相关,则_____.

(A) $X$ 与 $Y$ 一定独立

(B) $\left(X,Y\right)$ 服从二维正态分布

(C) $X$ 与 $Y$ 未必独立

(D) $X+Y$ 服从一维正态分布

解

只有当 $\left(X,Y\right)$ 服从二维正态分布时,不相关与独立才等价. 而本题仅知 $X$ 和 $Y$ 服从正态分布, 故 (A) 不正确. 从而 (B)、(D) 也不正确. 故应选(C).

3.14

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的联合概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}y{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)},& x,y>0\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

试求 $X,Y$ 是否相关, 是否独立.

解

已知 $\left(X,Y\right)$ 联合密度为 $f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}y{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)},& x,y>0\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

所以

$$EX={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xf\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{+\infty }\mathrm{d}y{\int }_0^{+\infty }xy{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)}\mathrm{d}x=1,$$

$EY={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }yf\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_0^{+\infty }{y}^2{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)}\mathrm{d}y=2,$

$E{X}^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{+\infty }\mathrm{d}y{\int }_0^{+\infty }{x}^{2}y{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)}\mathrm{d}x=2,$

$E{Y}^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}^{2}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_0^{+\infty }{y}^{2}y{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)}\mathrm{d}y=6,$

故 $DX=E{X}^2-{\left(EX\right)}^2=2-1=1$,

$DY=E{Y}^2-{\left(EY\right)}^2=6-2^2=2.$

因为 $E\left(XY\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xyf\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }xy\cdot y{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

$={\int }_0^{+\infty }x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x{\int }_0^{+\infty }{y}^2{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}y=2,$

所以 $\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-\left(EX\right)\left(EY\right)=0$,

即得 ${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=0$,

故 $X$ 与 $Y$ 不相关.

下面判断独立性, 应用边缘密度和联合密度的关系.

由已知 $f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}y{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)},& x,y>0\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

所以 $f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$

$$f_Y\left(y\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}y{\mathrm{e}}^{-y},& y>0\\ 0,& y\le 0\end{array}$$

所以 $f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)=f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}y{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)},& x,y>0\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

因此 $X,Y$ 是相互独立的.

点评

本题也可以先判断出 $X,Y$ 相互独立,既然 $X,Y$ 相互独立,则 $X,Y$ 一定不相关. 这样可以减少计算量.

3.15

设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的分布律为

X \ Y	-1	0	1
-1	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$
0	$\frac{1}{8}$	0	$\frac{1}{8}$
1	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$
验证 $X$ 和 $Y$ 是不相关的,但 $X$ 和 $Y$ 不是相互独立的.

证

由 $\left(X,Y\right)$ 的分布律得 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布分别为

X	-1	0	1
p	$\frac{3}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{3}{8}$

Y	-1	0	1
p	$\frac{3}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{3}{8}$

显然 $0=P\{X=0,Y=0\}\ne P\{X=0\}P\{Y=0\}=\frac{2}{8}\times \frac{2}{8}$

故 $X$ 和 $Y$ 不是相互独立的.

而

$E\left(X\right)=-1\times \frac{3}{8}+0\times \frac{2}{8}+1\times \frac{3}{8}=0$

$E\left(Y\right)=-1\times \frac{3}{8}+0\times \frac{2}{8}+1\times \frac{3}{8}=0$

$E\left(XY\right)=\left(-1\right)\times \left(-1\right)\times \frac{1}{8}+\left(-1\right)\times 1\times \frac{1}{8}+1\times \left(-1\right)\times \frac{1}{8}+1\times 1\times \frac{1}{8}=0$

所以 ${\rho }_{XY}=\frac{E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)}{\sqrt{D\left(X\right)}\sqrt{D\left(Y\right)}}=0$.

从而 $X$ 与 $Y$ 是不相关的.

3. 16

设 $A$ 和 $B$ 是试验 $E$ 的两个事件,且 $P\left(A\right)>0,P\left(B\right)>0$,并定义随机变量 $X,Y$ 如下:

$X=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 若 }A\text{ 发生 }\\ 0,& \text{ 若 }A\text{ 不发生 }\end{array},Y=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 若 }B\text{ 发生 }\\ 0,& \text{ 若 }B\text{ 不发生 }\end{array}$

证明 若 ${\rho }_{XY}=0$,则 $X$ 和 $Y$ 必定相互独立.

证

$X$ 和 $Y$ 的分布律分别为

X	1	0
p	$P(A)$	$P(\bar{A})$

Y	1	0
p	$P(B)$	$P(\bar{B})$

则 $XY$ 的分布律为

XY	0
	$P(AB)1-P(AB)$
从而

$$E\left(X\right)=P\left(A\right),E\left(Y\right)=P\left(B\right),E\left(XY\right)=P\left(AB\right).$$

如果 ${\rho }_{XY}=0$,有

$$E\left(XY\right)=E\left(X\right)E\left(Y\right),P\left(AB\right)=P\left(A\right)\left(B\right),$$

所以事件 $A$ 与 $B$ 是相互独立的. 由此事件 $A$ 与 $\bar{B},\bar{A}$ 与 $\bar{B},\bar{A}$ 与 $B$ 都是相互独立. 故得

$$P\{X=1,Y=1\}=P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)=P\{X=1\}P\{Y=1\}$$ $$P\{X=1,Y=0\}=P\left(A\bar{B}\right)=P\left(A\right)P\left(\bar{B}\right)=P\{X=1\}P\{Y=0\}$$ $$P\{X=0,Y=1\}=P\left(\bar{A}B\right)=P\left(\bar{A}\right)P\left(B\right)=P\{X=0\}P\{Y=1\}$$ $$P\{X=0,Y=0\}=P\left(\bar{A}\bar{B}\right)=P\left(\bar{A}\right)P\left(\bar{B}\right)=P\{X=0\}P\{Y=0\}$$

因此 $X$ 与 $Y$ 是相互独立的.