题型 5. 数学期望的应用

1.16

游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光. 电梯于每个整点的第 5 分钟、 25 分钟和 55 分钟从底层起行, 假设一游客在早八点的第 $X$ 分钟到达底层候梯处, 且 $X$ 在 $\left[0,60\right]$ 上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.

解

已知 $X$ 在 $\left[0,60\right]$ 上服从均匀分布,其密度为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{60},& \text{ 若 }0\le x\le 60\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

设 $Y$ 为游客等候电梯的时间 (单位: 分),则

$$Y=g\left(X\right)=\{\begin{array}{ll}5-X,& 0<X\le 5\\ 25-X,& 5<X\le 25\\ 55-X,& 25<X\le 55\\ 60-X+5,& 55<X\le 60\end{array}$$

因此,

$$\begin{array}{rl}E\left(Y\right)& =E\left[g\left(X\right)\right]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g\left(x\right)f\left(x\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{60}{\int }_0^{60}g\left(x\right)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{60}\left[{\int }_0^5\left(5-x\right)\mathrm{d}x+{\int }_5^{25}\left(25-x\right)\mathrm{d}x+{\int }_{25}^{55}\left(55-x\right)\mathrm{d}x+{\int }_{55}^{60}\left(65-x\right)\mathrm{d}x\right]\\ & =\frac{1}{60}\left[12.5+200+450+37.5\right]=11.67.\end{array}$$

1.17

设某种商品每周的需求量 $X$ 是服从区间 $\left[10,30\right]$ 上均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间 $\left[10,30\right]$ 中的某一整数,商店每销售 1 单位商品可获利 500 元；若供大于求则削价处理, 每处理 1 单位商品亏损 100 元; 若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每 1 单位商品仅获利 300 元, 为使商店所获利润期望值不少于 9280 元, 试确定最少进货量.

解

设进货数量为 $a$,则利润为

$$Y=\{\begin{array}{ll}500a+\left(X-a\right)300,& a<X\le 30\\ 500X-\left(a-X\right)100,& 10\le X\le a\end{array}=\{\begin{array}{ll}300X+200a,& a<X\le 30\\ 600X-100a,& 10\le X\le a\end{array}$$

利润期望

$$\begin{array}{rl}EY& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }g\left(x\right)f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{10}^{30}\frac{1}{20}\cdot g\left(x\right)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{20}{\int }_{10}^a\left(600x-100a\right)\mathrm{d}x+\frac{1}{20}{\int }_a^{30}\left(300x+200a\right)\mathrm{d}x\\ & ={\frac{1}{20}\left(600\frac{x^2}{2}-100ax\right)|}_{10}^a+{\frac{1}{20}\left(300\frac{x^2}{2}+200ax\right)|}_a^{30}\\ & =-7.5a^2+350a+5250.\end{array}$$

依题意, 有

$$-7.5a^2+350a+5250\ge 9280\text{即}7.5a^2-350a+4030\le 0\text{,}$$

解得 $20\frac{2}{3}\le a\le 26$.

故利润期望值不少于 9280 元的最少进货量为 21 单位.

1.18

假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周 5 个工作日里无故障,可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生二次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障要亏损 2 万元. 求一周内期望利润是多少?

解

设一周 5 个工作日内发生故障的天数为 $X$,由题意知 $X$ 服从二项分布,

$$\begin{array}{rl}P\{X=0\}& ={0.8}^5=0.32768,\\ P\{X=1\}& =C_5^{1}0.2\times {0.8}^4=0.4096,\\ P\{X=2\}& =C_5^2{0.8}^3\times {0.2}^2=0.2048,\\ P\{X\ge 3\}& =1-P\{X=0\}-P\{X=1\}-P\{X=2\}=0.05792.\end{array}$$

假设一周内获利为 $Y$ 万元,可得知以下关系

$$Y=f\left(X\right)=\{\begin{array}{ll}10,& \text{ 当 }X=0\\ 5,& \text{ 当 }X=1\\ 0,& \text{ 当 }X=2\\ -2,& \text{ 当 }X\ge 3\end{array}$$

则 $Y$ 的分布律为:

Y	10	5	0	-2
P	0.32768	0.4096	0.2048	0.05792
则 $EY=10\times 0.32768+5\times 0.4096-2\times 0.05792=5.20896$. 146