题型 6. 独立与不相关

4.51

若 $X\sim N\left(0,1\right)$,且 $Y=X^2$,问 $X$ 与 $Y$ 是否不相关? 是否相互独立?

解

因为 $X\sim N\left(0,1\right)$,密度函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}$ 为偶函数,所以 $E\left(X\right)=E\left(X^3\right)=0$. 于是由

$$\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)=E\left(X^3\right)-E\left(X\right)E\left(X^2\right)=0$$

得 ${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)}{\sqrt{D\left(X\right)}\sqrt{D\left(Y\right)}}=0$. 这说明 $X$ 与 $Y$ 是不相关的,但 $Y=X^2$,显然, $X$ 与 $Y$ 是不相互独立的.

4.52

若 $X\sim U\left(0,1\right),Y=X^2$,问 $X$ 与 $Y$ 是否不相关? 是否独立?

解

因为 $X\sim U\left(0,1\right)$,故

$$E\left(X\right)=\frac{1}{2},$$ $$E\left(Y\right)=E\left(X^2\right)={\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3},$$ $$E\left(XY\right)=E\left(X^3\right)={\int }_0^1{x}^3\mathrm{d}x=\frac{1}{4},$$

则 $\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)\cdot E\left(Y\right)\ne 0$. 故 $X,Y$ 不是不相关,从而 $X,Y$ 不独立.

4.53

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi },& x^2+y^2\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

试验证 $X$ 和 $Y$ 是不相关的,但 $X$ 和 $Y$ 不是相互独立的.

解

由于 $f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi }{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}y=\frac{2}{\pi }\sqrt{1-x^2},& -1\le x\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$ 由 $X$ 和 $Y$ 的对称性,同理可得

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi }\sqrt{1-y^2},& -1\le y\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

显然, $f\left(x,y\right)\ne f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)$,故 $X$ 和 $Y$ 不是相互独立的.

又 $E\left(X\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{-1}^1\frac{2}{\pi }x\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=0$

同理 $E\left(Y\right)=0$.

$$E\left(XY\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xyf\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{\pi }{\int }_{-1}^1\mathrm{d}x{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}xy\mathrm{d}y=0$$

从而 ${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)}{\sqrt{D\left(X\right)}\sqrt{D\left(Y\right)}}=\frac{E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)}{\sqrt{D\left(X\right)}\sqrt{D\left(Y\right)}}=0$. 故 $X$ 和 $Y$ 不相关.

4.54

设 $\left(X,Y\right)$ 服从二维正态分布,且有 $D\left(X\right)={\sigma }_X^2,D\left(Y\right)={\sigma }_Y^2$,证明当 $a^2=\frac{{\sigma }_X^2}{{\sigma }_Y^2}$ 时随机变量 $W=X-aY$ 与 $V=X+aY$ 相互独立.

解

$E\left(W\right)=E\left(X\right)-aE\left(Y\right)={\mu }_X-a{\mu }_Y$

$E\left(V\right)=E\left(X\right)+aE\left(Y\right)={\mu }_X+a{\mu }_Y$

$D\left(W\right)=D\left(X\right)+a^{2}D\left(Y\right)-2a\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)={\sigma }_X^2+a^2{\sigma }_Y^2-2a{\rho }_{XY}{\sigma }_X{\sigma }_Y$

$D\left(V\right)=D\left(X\right)+a^{2}D\left(Y\right)+2a\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)={\sigma }_X^2+a^2{\sigma }_Y^2+2a{\rho }_{XY}{\sigma }_X{\sigma }_Y$

$E\left(WV\right)=E\left(X^2-a^2{Y}^2\right)=E\left(X^2\right)-a^{2}E\left(Y^2\right)=D\left(X\right)+{\mu }_X^2-a^2\left[D\left(Y\right)+{\mu }_Y^2\right]$

$={\sigma }_X^2+{\mu }_X^2-a^2{\sigma }_Y^2-a^2{\mu }_Y^2$

$$\mathrm{Cov}\left(W,V\right)=E\left(WV\right)-E\left(W\right)E\left(V\right)={\sigma }_X^2+{\mu }_X^2-a^2{\sigma }_Y^2-a^2{\mu }_Y^2-\left({\mu }_X-a{\mu }_Y\right)\left({\mu }_X+a{\mu }_Y\right)$$ $$={\sigma }_X^2-a^2{\sigma }_Y^2$$

由于 $\left(W,V\right)$ 服从二维正态分布, $W$ 与 $V$ 相互独立的充要条件是 $W$ 与 $V$ 不相关,即 $\mathrm{Cov}\left(W,V\right)=$ 0,则 ${\sigma }_X^2-a^2{\sigma }_Y^2=0$,即

$$a^2=\frac{{\sigma }_X^2}{{\sigma }_Y^2}.$$

4.55

设 $A,B$ 是二随机事件; 随机变量

$$X=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 若 }A\text{ 出现 }\\ -1,& \text{ 若 }A\text{ 不出现 }\end{array}Y=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 若 }B\text{ 出现 }\\ -1,& \text{ 若 }B\text{ 不出现 }\end{array}$$

试证明随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关的充分必要条件是 $A$ 与 $B$ 相互独立.

证

记 $P\left(A\right)=p_1\cdot ,P\left(B\right)=p_2,P\left(AB\right)=p_{12}$,由数学期望的定义,可见

$$EX=P\left(A\right)-P\left(\bar{A}\right)=2p_1-1,$$ $$EY=2p_2-1$$

现在求 $EXY$. 由于 $XY$ 只有两个可能值 1 和 -1,可见

$$P\{XY=1\}=P\left(AB\right)+P\left(\bar{A}\bar{B}\right)=2p_{12}-p_1-p_2+1$$ $$P\{XY=-1\}=1-P\{XY=1\}=p_1+p_2-2p_{12}$$ $$EXY=P\{XY=1\}-P\{XY=-1\}=4p_{12}-2p_1-2p_2+1$$

从而

$$\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=EXY-EX\cdot EY=4p_{12}-4p_1{p}_2$$

因此, $\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=0$ 当且仅当 $p_{12}=p_1{p}_2$,即 $X$ 和 $Y$ 不相关当且仅当事件 $A$ 和 $B$ 相互独立.

4.56

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\frac{1}{2}\left[{\phi }_1\left(x,y\right)+{\phi }_2\left(x,y\right)\right],$$

其中 ${\phi }_1\left(x,y\right)$ 和 ${\phi }_2\left(x,y\right)$ 都是二维正态密度函数,且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$,它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零,方差都是 1.

(1)求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $f_1\left(x\right)$ 和 $f_2\left(y\right)$,及 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho$ (可以直接利用二维正态密度的性质).

(2)问 $X$ 和 $Y$ 是否独立？为什么?

解

(1)由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数,因此 ${\phi }_1\left(x,y\right)$ 和 ${\phi }_2\left(x,y\right)$ 的两个边缘密度为标准正态密度函数, 故

$$f_1\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\phi }_1\left(x,y\right)\mathrm{d}y+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\phi }_2\left(x,y\right)\mathrm{d}y\right]$$ $$=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\right]=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$$

同理, $f_2\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{y^2}{2}}$.

由于 $X\sim N\left(0,1\right),Y\sim N\left(0,1\right)$,可见 $EX=EY=0,DX=DY=1$. 随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数

$$\rho ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xyf\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$ $$=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xy{\phi }_1\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xy{\phi }_2\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right]$$ $$=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right]=0.$$

(2) 由题设

$$f\left(x,y\right)=\frac{3}{8\pi \sqrt{2}}\left[{\mathrm{e}}^{-\frac{9}{16}\left(x^2-\frac{2}{3}xy+y^2\right)}+{\mathrm{e}}^{-\frac{9}{16}\left(x^2+\frac{2}{3}xy+y^2\right)}\right],$$ $$f_1\left(x\right)\cdot f_2\left(y\right)=\frac{1}{2\pi }{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\cdot {\mathrm{e}}^{-\frac{y^2}{2}}=\frac{1}{2\pi }{\mathrm{e}}^{-\frac{\left(x^2+y^2\right)}{2}},$$ $$f\left(x,y\right)\ne f_1\left(x\right)\cdot f_2\left(y\right).$$

所以 $X$ 与 $Y$ 不独立.

4.57

对于任意二事件 $A$ 和 $B,0<P\left(A\right)<1,0<P\left(B\right)<1$,

$$\rho =\frac{P\left(AB\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)}{\sqrt{P\left(A\right)P\left(B\right)P\left(\bar{A}\right)P\left(\bar{B}\right)}}$$

称做事件 $A$ 和 $B$ 的相关系数.

(1)证明事件 $A$ 和 $B$ 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；

(2)利用随机变量相关系数的基本性质,证明 $\left|\rho \right|\le 1$. 量 188

证

(1)由 $\rho$ 的定义,可见 $\rho =0$ 当且仅当 $P\left(AB\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)=0$,而这恰好是二事件 $A$ 和 $B$ 独立的定义,即 $\rho =0$ 是 $A$ 和 $B$ 独立的充分必要条件.

(2)考虑随机变量 $X$ 和 $Y$ :

$$X=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 若 }A\text{ 出现 }\\ 0,& \text{ 若 }A\text{ 不出现 }\end{array},Y=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 若 }B\text{ 出现 }\\ 0,& \text{ 若 }B\text{ 不出现 }\end{array}.$$

由条件知, $X$ 和 $Y$ 都服从 $0\sim 1$ 分布:

$$X\sim \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1-P\left(A\right)& P\left(A\right)\end{array}\right),Y\sim \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1-P\left(B\right)& P\left(B\right)\end{array}\right).$$

易知

$$EX=P\left(A\right),EY=P\left(B\right);$$ $$DX=P\left(A\right)P\left(\bar{A}\right),D\left(Y\right)=P\left(B\right)P\left(\bar{B}\right);$$ $$E\left(XY\right)=P\left(AB\right),$$ $$\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=P\left(AB\right)-P\left(A\right)P\left(B\right).$$

因此,事件 $A$ 和 $B$ 的相关系数就是随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数.

于是由二随机变量相关系数的基本性质,可见 $\left|\rho \right|\le 1$.