3. 中心极限定理

3. 中心极限定理

(1)列维一林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理)

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 独立同分布,且 $E\left(X_i\right)=\mu ,D\left(X_i\right)={\sigma }^2<+\infty \left(i=1,2,\cdots \right)$,则对任意实数 $x$,有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\le x\right\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\Phi \left(x\right).$$

(2)李雅普诺夫定理

若随机变量序列 $\left\{X_n\right\}$ 相互独立,每个随机变量有期望值 $E{X}_n={\mu }_n$ 及方差 $D{X}_n={\sigma }_n^2<+\infty ,n=$ $1,2,\cdots$,若每个 $X_n$ 对总和 $\sum _{n=1}^m{X}_n$ 影响不大,记 $S_m={\left(\sum _{n=1}^m{\sigma }_n^2\right)}^{\frac{1}{2}}$,则

$$\underset{m\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{1}{S_m}\sum _{n=1}^m\left(X_n-{\mu }_n\right)\le x\right\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\Phi \left(x\right).$$

(3)棣莫弗一拉普拉斯定理

设随机变量 $Y_1,Y_2,\cdots$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布,则对于任何实数 $x$,有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{Y_n-np}{\sqrt{npq}}\le x\right\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\Phi \left(x\right).$$

其中 $q=1-p$.