题型 1. 利用切比雪夫不等式估计概率

1.1

设随机变量 $X$ 的数学期望 $EX=\mu$,方差 $DX={\sigma }^2$,则由切比雪夫不等式,有 $P\{\left|X-\mu \right|\ge 3\sigma \}\le$ ___.

解

由切比雪夫不等式

$$P\left\{\left|X-\mu \right|\ge 3\sigma \right\}\le \frac{DX}{{\left(3\sigma \right)}^2}=\frac{{\sigma }^2}{9{\sigma }^2}=\frac{1}{9}.$$

点评

此类题型的求解方法比较单一,在随机变量 $X$ 的期望 $EX$ 和方差 $DX$ 已知的情况下,直接应用切比雪夫不等式即可; 若 $EX$ 和 $DX$ 未知,当根据题意并结合数学期望和方差的性质计算出 $EX$ 和 $DX$, 然后再套用切比雪夫不等式.

1.2

设随机变量 $X$ 的方差为 2 则根据切比雪夫不等式估计 $P\{\left|X-E\left(X\right)\right|\ge 2\}\le$ ___.

解

根据切比雪夫不等式有

$$P\{\left|X-E\left(X\right)\right|\ge 2\}\le \frac{D\left(X\right)}{2^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

1.3

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的数学期望分别为 -2 和 2, 方差分别为 1 和 4, 而相关系数为 -0.5, 则根据切比雪夫不等式 $P\{\left|X+Y\right|\ge 6\}\le$ ___.

解

根据期望和方差的性质

$$E\left(X+Y\right)=EX+EY=-2+2=0,$$ $$\begin{array}{rl}D\left(X+Y\right)& =DX+DY+2\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)\\ & =DX+DY+2{\rho }_{XY}\sqrt{DX}\sqrt{DY}\\ & =1+4+2\times \left(-0.5\right)\times \sqrt{1}\times \sqrt{4}\\ & =3.\end{array}$$

那么 $P\{\left|X+Y\right|\ge 6\}\le \frac{D\left(X+Y\right)}{6^2}=\frac{3}{6^2}=\frac{1}{12}$.

1.4

已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是 7300, 均方差是 700, 利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在 $5200\sim 9400$ 之间的概率 $p$.

解

假设正常男性成人血液中每毫升白细胞数为 $X$,依题设 $E\left(X\right)=7300,D\left(X\right)={700}^2$,于是

$$\begin{array}{rl}P\{5200<X<9400\}& =P\{|X-7300|<2100\}\\ & \ge 1-\frac{700^2}{2100^2}=\frac{8}{9},\end{array}$$

即每毫升含白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的概率不低于 $\frac{8}{9}$.

1.5

设随机变量 $X\sim B\left(n,p\right)$, 试用切比雪夫不等式证明

$$P\left\{\left|X-np\right|\ge \sqrt{n}\right\}\le \frac{1}{4}.$$

证

$E\left(X\right)=np,D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$, 由切比雪夫不等式,

$$P\left\{\left|X-EX\right|\ge \sqrt{n}\right\}\le \frac{DX}{{\left(\sqrt{n}\right)}^2},$$

即

$$P\left\{\left|X-np\right|\ge \sqrt{n}\right\}\le p\left(1-p\right)\le \frac{1}{4},$$

其中最后的不等式来自二次函数的极值.