题型 3. 与中心极限定理条件及结论有关的题目

1.8

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立, $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$,则根据列维一林德伯格 (Levy-Lindberg) 中心极限定理,当 $n$ 充分大时, $S_n$ 近似服从正态分布,只要 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ ( ).

(A) 有相同的数学期望 (B) 有相同的方差 (C) 服从同一指数分布 (D) 服从同一离散型分布

分析

列维一林德伯格定理成立的条件有三条: (1) 随机变量序列 $\left\{X_n\right\}$ 相互独立; (2) 各随机变量服从同一分布; (3) 各随机变量的数学期望和方差存在.

要判定当 $n$ 充分大时, $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$ 是否近似服从正态分布,只需验证随机变量序列 $\left\{X_n\right\}$ 是否满足上述三个条件即可.

解

根据题意知,选项(A)、(B) 不能保证 $X_1,\cdots ,X_n,\cdots$ 同分布; 选项(D) 不能保证数学期望存在.

因此应选(C).

1.9

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 为独立同分布的随机变量序列,且均服从参数为 $\lambda \left(\lambda >1\right)$ 的指数分布,记 $\Phi \left(x\right)$ 为标准正态分布函数,则 ( ).

(A) $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\lambda \sqrt{n}}\le x\right\}=\Phi \left(x\right)$ (B) $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\le x\right\}=\Phi \left(x\right)$ (C) $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\lambda \sum _{i=1}^n{X}_i-n}{\sqrt{n}}\le x\right\}=\Phi \left(x\right)$ (D) $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\le x\right\}=\Phi \left(x\right)$

解

根据题意知, 该随机变量序列满足列维一林德伯格中心极限定理. 因为

$$E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}E{X}_i=\frac{n}{\lambda },D\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}D{X}_i=\frac{n}{{\lambda }^2},$$

所以

$$\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-\frac{n}{\lambda }}{\sqrt{\frac{n}{{\lambda }^2}}}=\frac{\lambda \sum _{i=1}^n{X}_i-n}{\sqrt{n}}$$

的极限分布为标准正态分布.

故应选(C).

1.10

假设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本; 已知 $E{X}^k=a_k\left(k=1,2,3,4\right)$, 并且 $a_4$ $-a_2^2>0$. 证明当 $n$ 充分大时,随机变量 $Z_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 近似服从正态分布,并指出其分布参数.

证

根据简单随机样本的特性, $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布,那么 $X_1^2,X_2^2,\cdots ,X_n^2$ 也独立同分布. 由 $E{X}^k=a_k,k=1,2,3,4$,有

$$E{Z}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E{X}_i^2=a_2,$$

并且也有

$$D{Z}_n=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D{X}_i^2=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\left[E{X}_i^4-{\left(E{X}_i^2\right)}^2\right]=\frac{1}{n}\left(a_4-a_2^2\right)>0.$$

所以根据中心极限定理 $\frac{Z_n-a_2}{\sqrt{\frac{a_4-a_2^2}{n}}}$ 的极限分布为标准正态分布,即 $Z_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 近似服从正态

分布 $\left(n\text{充分大时}\right)$,其分布参数为 $\left(a_2,\frac{a_4-a_2^2}{n}\right)$.