知识要点 0. 总体与样本

1. 总体 是指研究对象的某个性能指标的全体,通常用一随机变量 $X$ 代表总体.
2. 个体 是指每一个研究对象.
3. 样本 从总体中取 $n$ 个个体,称作来自总体的容量为 $n$ 的样本.
   • 简单随机样本 是指 $n$ 个相互独立,而且与总体 $X$ 同分布的随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$,简称随机样本,也常以随机向量 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 表示. 它们的一组观察值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 称为样本值.
4. 统计量 称不含未知参数的样本函数 $g\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为统计量.
   • 常见统计量
     • $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ 为样本均值,
     • $S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$ 为样本方差,
     • $S=\sqrt{S^2}$ 称为样本标准差,
     • $A_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$ 为 $k$ 阶样本原点矩,
     • $B_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^k$ 为 $k$ 阶样本中心矩,
       • 其中 $B_2=S_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2=\frac{n-1}{n}{S}^2$.
5. 经验分布函数
   • 从总体 $X$ 中抽取一个容量为 $n$ 的样本,将其观察值 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 按大小顺序,重新排列如下 $x_1^{\ast }\le x_2^{\ast }\le \cdots \le x_n^{\ast },$对于任意的实数 $x$,定义函数 $F_n\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<x_1^{\ast }\\ \frac{k}{n},& x_k^{\ast }\le x<x_{k+1}^{\ast },k=1,2,\cdots ,n-1\\ 1,& x_n^{\ast }\le x\end{array}$称 $F_n\left(x\right)$ 为总体 $X$ 由 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 所决定的样本分布函数或经验分布函数.
   • 格列汶科定理 当 $n\to \infty$ 时, $F_n\left(x\right)$ 依概率 1 关于 $x$ 均匀地收敛于 $F\left(x\right)$. 即说明: 当 $n$ 很大时,样本分布函数 $F_n\left(x\right)$ 近似于总体分布函数 $F\left(x\right)$.
6. ${\chi }^2$ 分布
   • (1) 定义: 设随机变量 $X_1,\cdots ,X_n$ 相互独立同分布 $N\left(0,1\right)$,若有 ${\chi }^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2$,则随机变量 ${\chi }^2$ 概率论与数理统计习题精选精解的分布称为 $n$ 个自由度的 ${\chi }^2$ 分布. 即 ${\chi }^2\sim {\chi }^2\left(n\right)$. 其概率密度函数为 $\phi \left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$
   • 用图形表示其密度函数为图 6-1.
   • (2) 性质:
     • $E\left({\chi }^2\left(n\right)\right)=n,D\left({\chi }^2\left(n\right)\right)=2n$.
     • 设 $X\sim {\chi }^2\left(m\right),Y\sim {\chi }^2\left(n\right)$,且 $X$ 与 $Y$ 相互独立. 则 $X+Y\sim {\chi }^2\left(m+n\right).$
     • 上 $\alpha$ 分位点:对于给定的正数 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$,称满足条件 $P\left\{{\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2\left(n\right)\right\}=\alpha$的点 ${\chi }_{\alpha }^2\left(n\right)$ 为 ${\chi }^2$ 分布的上 $\alpha$ 分位点.
7. $t$ 分布
   • (1)定义: 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立. $X\sim N\left(0,1\right),Y\sim {\chi }^2\left(n\right)$,若 $T=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}$,则随机变量 $T$ 的分布称为 $n$ 个自由度的 $t$ 分布,即 $T\sim t\left(n\right)$,其概率密度函数为 $\phi \left(x\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}\left(-\infty <x<+\infty \right).$
   • 用图形表示其概率密度为图 6-2
   • (2) 性质:
     • $E\left(t\left(n\right)\right)=0,D\left(t\left(n\right)\right)=\frac{n}{n-2}\left(n>2\right)$;
     • $\underset{n\to \infty }{\lim }\phi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$,故 $n$ 足够大时, $t$ 分布近似于 $N\left(0,1\right)$;
     • 若 $T\sim t\left(n\right)$,则 $T^2\sim F\left(1,n\right)$;
   • (3)上 $\alpha$ 分位点: $t\left(n\right)$ 分布的上 $\alpha$ 分位点 $t_{\alpha }\left(n\right)$ 是指满足 $P\left\{T>t_{\alpha }\left(n\right)\right\}=\alpha \left(0<\alpha <1\right)\text{ 的点 }{t}_{\alpha }\left(n\right).$其中 $t_{1-\alpha }\left(n\right)=-t_{\alpha }\left(n\right)$.
8. $F$ 分布
   • (1)定义: 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,且分别服从 ${\chi }^2\left(m\right)$ 和 ${\chi }^2\left(n\right)$ 分布,若 $F=\frac{\frac{X}{m}}{\frac{Y}{n}}$,则 $F$ 服从自由度为 $m,n$ 的 $F$ 分布. 即 $F\sim F\left(m,n\right)$,其概率密度函数为 $\phi \left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{m}^{\frac{m}{2}}{n}^{\frac{n}{2}}\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{{\left(mx+n\right)}^{\frac{m+n}{2}}},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$
   • 用图形表示其概率密度函数为图 6-3
   • (2)性质:
     • 若 $X\sim F\left(m,n\right)$,则
       • $E\left(X\right)=\frac{n}{n-2}\left(n>2\right),$
       • $D\left(X\right)=\frac{n^2\left(2m+2n-4\right)}{m{\left(n-2\right)}^2\left(n-4\right)}\left(n>4\right);$
     • 若 $X\sim F\left(m,n\right)$,则 $\frac{1}{X}\sim F\left(n,m\right)$;
     • 上 α 分位点:满足 $P\left\{F>F_{\alpha }\left(m,n\right)\right\}=\alpha \left(0<\alpha <1\right)$ 的点 $F_{\alpha }\left(m,n\right)$ 称为上 $\alpha$ 分位点, 且 $F_{1-\alpha }\left(m,n\right)=\frac{1}{F_{\alpha }\left(n,m\right)}$.
9. 正态总体的常用结论
   • 若总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),X_1,\cdots ,X_n$ 是其样本, $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和方差, 则
     • $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$ 或 $\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma }\sqrt{n}\sim N\left(0,1\right)$;
     • $\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(n-1\right)$;
     • $\frac{\bar{X}-\mu }{S}\sqrt{n}\sim t\left(n-1\right)$;
     • $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立.
   • 若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 和 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_m$ 分别表示取自两个正态总体 $N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right)$ 和 $N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$ 的简单随机样本, $\bar{X},\bar{Y}$ 和 $S_1^2,S_2^2$ 分别表示其样本均值和方差,则有
     • $\frac{S_1^2}{{\sigma }_1^2}/\frac{S_2^2}{{\sigma }_2^2}\sim F\left(n-1,m-1\right)$;
     • $\sqrt{\frac{mn\left(n+m-2\right)}{n+m}}\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left({\mu }_1-{\mu }_2\right)}{\sqrt{\left(n-1\right)S_1^2+\left(m-1\right)S_2^2}}\sim t\left(n+m-2\right)$. (当 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 时)