题型 2. 利用抽样分布确定参数

1.7

设 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 是来自正态总体 $N\left(0,2^2\right)$ 的简单随机样本,

$$X=a{\left(X_1-2X_2\right)}^2+b{\left(3X_3-4X_4\right)}^2,$$

则当 $a=$ ___ , $b$ = __ 时, 统计量 $X$ 服从 ${\chi }^2$ 分布, 其自由度为 ___ .

解

令 $Y_1=X_1-2X_2$, 则 $\frac{Y_1}{\sqrt{20}}\sim N\left(0,1\right)$,

所以 $a=\frac{1}{20}$ 时, $\sqrt{a}\left(X_1-2X_2\right)\sim N\left(0,1\right)$.

同样令 $Y_2=3X_3-4X_4$,则 $\frac{Y_2}{100}\sim N\left(0,1\right)$,

所以 $b=\frac{1}{100}$ 时, $\sqrt{b}\left(3X_3-4X_4\right)\sim N\left(0,1\right)$,

此时 $X=\frac{Y_1^2}{20}+\frac{Y_2^2}{100}\sim {\chi }^2\left(2\right)$.

故应填 $\frac{1}{20},\frac{1}{100},2$.

1.8

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_5$ 是取自正态分布 $N\left(0,{\sigma }^2\right)$ 的一个简单随机样本, 若 $\frac{a\left(X_1+X_2\right)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}$ 服从 $t$ 分布, 则 $a=$ ___ .

解

因为

$$\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}\sigma }\sim N\left(0,1\right),$$ $$\frac{1}{{\sigma }^2}\left(X_3^2+X_4^2+X_5^2\right)\sim {\chi }^2\left(3\right)$$

且 $\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}\sigma }$ 与 $\frac{1}{{\sigma }^2}\left(X_3^2+X_4^2+X_5^2\right)$ 独立, 于是

$$\frac{\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}\sigma }}{\sqrt{\frac{\frac{1}{{\sigma }^2}\left(X_3^2+X_4^2+X_5^2\right)}{3}}}=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}\left(X_1+X_2\right)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}\sim t\left(3\right)\Rightarrow a=\sqrt{\frac{3}{2}}.$$