题型 7. 求经验分布函数

1.28

设对总体 $X$ 得到一个容量为 10 的样本,样本值分别为

$$4.5,2,1,1.5,3.5,4.5,6.5,5,3.5,4$$

分别计算样本均值, 样本方差和经验分布函数.

解

因为 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$, 所以 $\bar{x}=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}{x}_i=3.6$

因为

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$

所以

$$s^2=\frac{1}{9}\sum _{i=1}^{10}(x_i-\bar{x}{)}^2\text{or}\frac{1}{9}\left(\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2-10{\bar{x}}^2\right)=\mathrm{2.88.}$$

将 10 个样本值由小到大排序为

$$1<1.5<2<3.5=3.5<4<4.5=4.5<5<6.5\text{,}$$

其经验分布函数为

$$F_n\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<1\\ \frac{1}{10},& 1\le x<1.5\\ \frac{2}{10},& 1.5\le x<2\\ \frac{3}{10},& 2\le x<3.5\\ \frac{5}{10},& 3.5\le x<4\\ \frac{6}{10},& 4\le x<4.5\\ \frac{8}{10},& 4.5\le x<5\\ \frac{9}{10},& 5\le x<6.5\\ \frac{9}{10},& 5\le x<6.5\end{array}$$