方法与技巧 3. 区间估计

求未知参数的置信区间是区间估计的基本内容, 常用方法如下:

1 一般方法

1.1

寻求一个样本 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 的函数 (枢轴变量)

$$W=W\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n;\theta \right)$$

它包含待估参数 $\theta$, 而不含其他未知参数, 并且 $W$ 的分布已知且不依赖于任何未知参数(当然不依赖于待估参数 $\theta$ );

1.2

对于给定的置信水平 $1-\alpha$, 定出两个常数 $a,b$, 使

$$P\left\{a<W\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n;\theta \right)<b\right\}=1-\alpha ;$$

1.3

若能从 $a<W\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n;\theta \right)<b$ 得到等价的不等式 $\underline{\theta }<\theta <\bar{\theta }$,其中

$$\underline{\theta }=\underline{\theta }\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right),\bar{\theta }=\bar{\theta }\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$$

都是统计量,那么 $\left(\underline{\theta },\bar{\theta }\right)$ 就是 $\theta$ 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间.

函数 $W\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n;\theta \right)$ 的构造, 通常可以从 $\theta$ 的点估计着手考虑. 常用的正态总体参数的置信区间可以用上述步骤推得.

2 正态总体参数的置信区间

利用一般方法推出了参数的置信区间公式, 针对具体题目, 可以分清类型, 代入公式计算.

3 非正态总体参数的置信区间

情形比较复杂, 一般采用大样本, 利用中心极限定理近似视为正态分布, 借用正态总体的某些特殊结论.