知识要点 2. 估计量的评选标准

1. 无偏性

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本, $\hat{\theta }$ 为 $\theta$ 的一个估计量,如果 $E\left(\hat{\theta }\right)=\theta$ 成立,则称估计量 $\hat{\theta }$ 为参数 $\theta$ 的无偏估计.

2. 有效性

设 ${\hat{\theta }}_1\text{、}{\hat{\theta }}_2$ 都为参数 $\theta$ 的无偏估计量,若 $D\left({\hat{\theta }}_1\right)\le D\left({\hat{\theta }}_2\right)$,则称 ${\hat{\theta }}_1$ 比 ${\hat{\theta }}_2$ 有效.

特别地,若对于 $\theta$ 的任一无偏估计 $\hat{\theta }$,有

$$D\left({\hat{\theta }}_1\right)\le D\left(\hat{\theta }\right)$$

则称 ${\hat{\theta }}_1$ 是 $\theta$ 的最小方差无偏估计 (最佳无偏估计).

3. 一致性

设 $\hat{\theta }$ 为未知参数 $\theta$ 的估计量,若对任意给定的 $\epsilon >0$,都有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\{\left|\hat{\theta }-\theta \right|<\epsilon \}=1,$$

即 $\hat{\theta }$ 依概率收敛于参数 $\theta$,则 $\hat{\theta }$ 称为 $\theta$ 的一致估计或相合估计.