题型 2 估计量的有效性问题

2.6

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本, 当用

• $2\bar{X}-X_1$
• $\bar{X}$
• $\frac{1}{2}{X}_1+\frac{2}{3}{X}_2-\frac{1}{6}{X}_3$

作为 $\mu$ 的估计时, 最有效的是哪个估计量?

分析

先验证估计量是否是无偏估计量,再根据有效性的定义判断有效性.

解

由无偏性的定义

$$E\left(2\bar{X}-X_1\right)=2E\bar{X}-E{X}_1=2\mu -\mu =\mu ,$$ $$E\bar{X}=\mu ,$$ $$E\left(\frac{1}{2}{X}_1+\frac{2}{3}{X}_2-\frac{1}{6}{X}_3\right)=\frac{1}{2}\mu +\frac{2}{3}\mu -\frac{1}{6}\mu =\mu ,$$

可知 $2\bar{X}-X_1$, $\bar{X}$ 与 $\frac{1}{2}{X}_1+\frac{2}{3}{X}_2-\frac{1}{6}{X}_3$ 均是 $\mu$ 的无偏估计量.

$$\begin{array}{rl}D\left(2\bar{X}-X_1\right)& =D\left(\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-X_1\right)\\ & =D\left[\left(\frac{2}{n}-1\right)X_1+\frac{2}{n}\sum _{i=2}^n{X}_i\right]\\ & ={\left(\frac{2-n}{n}\right)}^{2}D{X}_1+{\left(\frac{2}{n}\right)}^2\sum _{i=2}^{n}D{X}_i\\ & =\frac{1}{n^2}\left[(2-n{)}^2{\sigma }^2+4(n-1){\sigma }^2\right]\\ & ={\sigma }^2.\end{array}$$ $$D\bar{X}=\frac{{\sigma }^2}{n},$$ $$\begin{array}{rl}D\left(\frac{1}{2}{X}_1+\frac{2}{3}{X}_2-\frac{1}{6}{X}_3\right)& =\left(\frac{1}{4}D{X}_1+\frac{4}{9}D{X}_2+\frac{1}{36}D{X}_3\right)\\ & =\frac{13}{18}{\sigma }^2.\end{array}$$

经过比较可知 $D\bar{X}$ 最小, 因此 $\bar{X}$ 是最有效的估计量.

2.7

设总体 $X$ 的样本是 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$, 试证明:

(1) $\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i\left(a_i>0,i=1,2,\cdots ,n,\sum _{i=1}^n{a}_i=1\right)$ 是 $E\left(X\right)$ 的无偏估计量;

(2) 在 $E\left(X\right)$ 的所有形如 $\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i$ 的无偏估计量中, $\bar{X}$ 为最有效的估计.

分析

证明估计量的有效性时, 需要证明不等式成立, 因此采用 Cauchy - Schwarz 公式是很有效的方法

证

(1)

根据无偏性估计的定义有

$$E\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n{a}_{i}E\left(X_i\right)=E\left(X\right)\sum _{i=1}^n{a}_i=E\left(X\right),$$

故 $\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i$ 是 $E\left(X\right)$ 的无偏估计量.

(2)

由样本均值的性质可知

$$E\left(\bar{X}\right)=\frac{1}{n}E\sum _{i=1}^n{X}_i=EX,$$

因此 $\bar{X}$ 也是 $E\left(X\right)$ 的无偏估计量.

又由 Cauchy- Schwarz 不等式

$${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right),$$

令 $x_i=a_i,y_i=1$,则

$${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2=1\le n\sum _{i=1}^n{a}_i^2,$$

故

$$\begin{array}{rl}D\left(\bar{X}\right)& =\frac{1}{n}D\left(X\right)\\ & =\frac{1}{n}D\left(X\right){\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2\\ & \le D\left(X\right)\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\\ & =\sum _{i=1}^n\left(a_i^{2}D\left(X\right)\right)\\ & =\sum _{i=1}^{n}D\left(a_i{X}_i\right)\\ & =D\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i\right).\end{array}$$

证毕.

点评

本题也可以用导数知识求 $\sum _{i=1}^n{a}_i^2$ 的最小值, 从而得出结论. 另外本题的结论可以记住并当作定理应用, 见下面例题.

2.8

设 $\left(X_1,X_2,X_3\right)$ 是来自总体 $X$ 的一个简单样本, 则在下列 $EX$ 的估计量中, 最有效的估计量是( ).

(A) $\frac{1}{4}\left(X_1+2X_2+X_3\right)$ (B) $\frac{1}{3}\left(X_1+X_2+X_3\right)$ (C) $\frac{1}{5}\left(X_1+3X_2+X_3\right)$ (D) $\frac{1}{5}\left(2X_1+2X_2+X_3\right)$

解

可以将 4 个选项中统计量的方差求出, 经比较, (B) 中统计量 $\bar{X}$ 的方差 $\frac{D\left(X\right)}{3}$ 为最小, 故最有效.

也可以直接利用上题的结论, 选择 (B).