题型 3 单侧置信限问题

3.11

从一批电子元件中随机地抽取 10 只作寿命试验,其寿命 (以小时计) 如下:

$\begin{array}{llllllllll}1498& 1499& 1501& 1503& 1500& 1499& 1499& 1498& 1500& 1503\end{array}$

设寿命服从正态分布,试求其平均寿命的 95% 置信下限.

解

本例中,总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,且方差 ${\sigma }^2$ 未知,故应使用 $t$ 分布. 因

$$\frac{\left(\bar{X}-\mu \right)\cdot \sqrt{n}}{S}\sim t\left(n-1\right),$$

此时要求

$$P\left\{\frac{\left(\bar{X}-\mu \right)\sqrt{n}}{S}<t_{\alpha }\left(n-1\right)\right\}=1-\alpha ,$$

于是得 $\mu$ 的置信度 $1-\alpha$ 单侧置信区间为

$$\left(\bar{X}-t_{\alpha }\left(n-1\right)\cdot \frac{S}{\sqrt{n}},+\infty \right).$$

对于给定的数据, 具体计算如下:

$$\begin{array}{rl}\bar{x}& =\frac{1}{10}(1498+1499+1501+1503+1500\\ & +1499+1499+1498+1500+1503)\\ & =1500\text{.}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{s}^2& =\frac{1}{10-1}[{\left(1498-1500\right)}^2+{\left(1499-1500\right)}^2+{\left(1501-1500\right)}^2\\ & +{\left(1503-1500\right)}^2+{\left(1500-1500\right)}^2+{\left(1499-1500\right)}^2\\ & +{\left(1499-1500\right)}^2+{\left(1498-1500\right)}^2+{\left(1500-1500\right)}^2\\ & +{\left(1503-1500\right)}^2]\\ & =\frac{10}{3}\text{.}\end{array}$$

又

$$\begin{array}{rl}1-\alpha & =0.95,\\ \alpha & =0.05,\\ t_{0.05}(10-1)& =1.8331\text{.}\end{array}$$

故寿命均值的 95% 单侧置信区间为

$$\left(1500-\frac{1}{\sqrt{10}}\times \sqrt{\frac{10}{3}}\times 1.8331,+\infty \right)\approx \left(1498.942,+\infty \right).$$

1498.942 就是所求的置信下限.