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§1. 假设检验基本概念

知识要点

1. 假设检验

对总体的分布类型或分布中的某些未知参数作出假设, 然后抽取样本并选择一个合适的检验统计量,利用检验统计量的观察值和预先给定的误差 $\alpha$,对所作假设成立与否作出定性判断, 这种统计推断称为假设检验. 若总体分布已知, 只对分布中未知参数提出假设并作检验, 这种检验称为参数检验.

2. 假设检验基本思想的依据是小概率原理

小概率原理是指概率很小的事件在试验中发生的频率也很小, 因此小概率事件在一次试验中不可能发生.

当对问题提出待检假设 $H_0$,并要检验它是否可信时,先假定 $H_0$ 正确. 在这个假定下,经过一次抽样,若小概率事件发生了,就作出拒绝 $H_0$ 的决定; 否则,若小概率事件未发生,则接受 $H_0$.

3. 假设检验基本概念

在显著性水平 $\alpha$ 下,检验假设.

$H_0$ 称为原假设或零假设. $H_1$ 称为备择假设.

当检验统计量取某个区域 $C$ 中的值时,我们拒绝原假设 $H_0$,则称区域 $C$ 为拒绝域 (或否定域).

4. 假设检验过程

(1)提出原假设和备择假设;

(2)选取检验统计量；

(3)确定拒绝原假设的域；

(4)计算检验统计量的观察值并作出判断.

5. 两类错误

人们作出判断的依据是一个样本,样本是随机的,因而人们进行假设检验判断 $H_0$ 可信与否时, 不免发生误判而犯两类错误.

第一类错误: $H_0$ 为真,而检验结果将其否定,这称为” 弃真” 错误;

第二类错误: $H_0$ 不真,而检验结果将其接受,这称为”取伪” 错误.

分别记犯第一、二类错误的概率为 $\alpha ,\beta$,即 $\alpha =P\{$ 拒绝 $H_0\mid H_0\text{为真}\},\beta =P\{$ 接受 $H_0\mid H_0$ 不真}. 当样本容量 $n$ 固定时, $\alpha$ 越小, $\beta$ 就越大. 一般采取的原则是: 固定 $\alpha$,通过增加样本容量 $n$ 降低 $\beta$.

6. 假设检验与区间估计的联系

假设检验与区间估计是从不同角度来对同一问题的回答, 其解决问题的途径相通.

下面以正态总体 $N\left(\mu ,{\sigma }_0^2\right)$,其中 ${\sigma }_0^2$ 已知,关于 $\mu$ 的假设检验和区间估计为例加以说明:

假设 $H_0:\mu ={\mu }_0$,当 $H_0$ 为真时,则 $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N\left(0,1\right)$,对于给定的显著性水平 $\alpha ,P\{\mid$ $U|\le u_{\frac{\alpha }{2}}\}=1-\alpha$,那么 $H_0$ 的接受域为 $\left(\bar{X}\pm u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}\right)$,即认为以 $1-\alpha$ 的概率接受 $H_0$,事实上这个接受域也是 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间. 这充分说明两者解决问题的途径相同,假设检验判断的是结论是否成立, 而参数估计解决的是范围问题.

基本题型

题型 1: 关于两类错误

【1.1】在假设检验中,记 $H_1$ 为备择假设,则称( )为犯第一类错误.

(A) $H_1$ 真,接受 $H_1$ (B) $H_1$ 不真,接受 $H_1$

(C) $H_1$ 真,拒绝 $H_1$ (D) $H_1$ 不真,拒绝 $H_1$

解 应选 (B),(B) 相当于 $H_0$ 为真,但拒绝 $H_0$,为第一类错误.

【1.2】对假设检验,显著性水平 $\alpha =0.05$,其意义是( ).

(A) 原假设不成立, 经过检验而被拒绝的概率

(B) 原假设成立, 经过检验而被拒绝的概率

(C) 原假设不成立, 经过检验不能拒绝的概率

(D) 原假设成立, 经过检验不能拒绝的概率

解 应选 (B), $\alpha$ 即第一类错误” 弃真” 的概率.

【1.3】在假设检验中, $H_0$ 表示原假设, $H_1$ 为备择假设,则称为犯第二类错误是( ).

(A) $H_1$ 不真,接受 $H_1$ (B) $H_1$ 不真,接受 $H_0$

(C) $H_0$ 不真,接受 $H_1$ (D) $H_0$ 不真,接受 $H_0$

解 应选(D).

【1.4】假设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{36}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu ,0.04\right)$ 的简单随机样本,其中 $\mu$ 为未知参数,记 $\bar{X}=\frac{1}{36}\sum _{i=1}^{36}{X}_i$,现对检验问题 $H_0:\mu =0.5,H_1:\mu ={\mu }_1>0.5$,并取检验否定域 $D=\{(x_1$, $x_2,\cdots ,x_{36}):\bar{X}>C\}$,检验显著性水平 $\alpha =0.05$. 试计算:

(1) $C$; (2)若 $\alpha =0.05,{\mu }_1=0.65$ 时,犯第二类错误的概率是多少？

解 (1)若假设 $H_0$ 成立,即 $\mu =0.5$,那么总体 $X\sim N\left(0.5,0.04\right)$, $\bar{X}\sim N\left(0.5,\frac{1}{900}\right)$.

根据题意知

$\alpha =P\left\{\text{拒绝 }{H}_0\mid H_0\text{ 为真 }\right\}=P\{\bar{X}>C\}=1-P\{\bar{X}\le C\}$

$=1-P\left\{\frac{\bar{X}-0.5}{\frac{1}{30}}\le \frac{C-0.5}{\frac{1}{30}}\right\}=1-\Phi \left(30C-15\right)=0.05.$

那么 $\Phi \left(30C-15\right)=0.95$,查表得 $30C-15=1.645$,即 $C=0.5548$.

(2)若假设 $H_1$ 成立,即 $\mu ={\mu }_1=0.65$,那么总体 $X\sim N\left(0.65,0.04\right)$, $\bar{X}\sim N\left(0.65\text{，}\frac{1}{900}\right)$.

根据题意知

$\beta =P\left\{\text{ 接受 }{H}_0\mid H_0\text{ 不真 }\right\}=P\{\bar{X}<C\}$

$\S 2$. 正态总体参数的假设检验

知识要点

1. 一个正态总体的假设检验

设 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本,

(1) ${\sigma }^2$ 已知,检验假设 $H_0:\mu ={\mu }_0;H_1:\mu \ne {\mu }_0$.

检验步骤为:

① 提出待检假设 $H_0:\mu ={\mu }_0({\mu }_0$ 已知);

② 选取样本 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 的统计量 $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}}\left({\sigma }_0\text{已知}\right)$,在 $H_0$ 成立时, $U\sim N\left(0,1\right)$;

③ 对给定的显著性水平 $\alpha$,查表确定临界值 $u_{\frac{\alpha }{2}}$,使得 $P\left\{\left|U\right|>u_{\frac{\alpha }{2}}\right\}=\alpha$,计算检验统计量 $U$ 的观察值并与临界值 $u_{\frac{\alpha }{2}}$ 比较;

④ 作出判断: 若 $\left|U\right|>u_{\frac{\alpha }{2}}$,则拒绝 $H_0$; 若 $\left|U\right|<u_{\frac{\alpha }{2}}$,则接受 $H_0$.

(2)未知,检验假设 $H_0:\mu ={\mu }_0;H_1:\mu \ne {\mu }_0$.

选取统计量 $T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$,其中 $S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$,当 $H_0$ 为真时, $T\sim t\left(n-1\right)$.

拒绝域为 $\left|T\right|>t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)$.

(3) $\mu$ 已知,检验假设 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2;H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$.

选取统计量 ${\chi }^2=\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-{\mu }_0\right)}^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2\left(n\right)$,

拒绝域为 ${\chi }^2>{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)$ 或 ${\chi }^2<{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)$.

(4) $\mu$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2;H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$.

选取统计量 ${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}$. 当 $H_0$ 为真时, ${\chi }^2\sim {\chi }^2\left(n-1\right)$,

拒绝域为 ${\chi }^2>{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)$ 或 ${\chi }^2<{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)$.

2. 两个正态总体的假设检验

设 $X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right),\left(X_1,X_2,\cdots ,X_{n_1}\right)$ 和 $\left(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{n_2}\right)$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 的样本, $\bar{X}\text{、}{S}_1^2$ 和 $\bar{Y}\text{、}{S}_2^2$ 是相应的样本的均值和方差,

(1) ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知,检验假设 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2;H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$.

选取统计量 $U=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N\left(0,1\right)$.

拒绝域为 $\left|U\right|>u_{\frac{\alpha }{2}}$.

(2) ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 未知,检验假设 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2;H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$. 常见的三种特殊情形:

① 当 $n_1,n_2$ 较大时:

选取统计量 $U=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}\stackrel{\text{近似}}{\sim }N\left(0,1\right)$.

拒绝域为 $\left|U\right|>u_{\frac{\alpha }{2}}$.

② ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 时:

选取检验统计量 $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\left(n_1-1\right)S_1^2+\left(n_2-1\right)S_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$,当 $H_0$ 为真时, $T\sim t(n_1+n_2-$

2),

显著性水平为 $\alpha$ 的拒绝域为 $\left|T\right|>t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n_1+n_2-2\right)$.

③ ${\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$,但 $n_1=n_2$ (配对问题):

令 $D_i=X_i-Y_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$,则 $D_i\sim N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right)$,其中 ${\mu }_D={\mu }_1-{\mu }_2,{\sigma }_D^2={\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$ (未知).

此时检验假设等价于 $H_0:{\mu }_D=0;H_1:{\mu }_D\ne 0$.

选取统计量 $T=\frac{\bar{D}-{\mu }_D}{\frac{S_D}{\sqrt{n}}}\sim t\left(n-1\right)$.

拒绝域为 $\left|T\right|>t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)$.

( 3 ) ${\mu }_1,{\mu }_2$ 已知,检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$.

选取统计量 $F=\frac{\frac{\sum _{i=1}^{n_1}{\left(X_i-{\mu }_1\right)}^2}{n_1}}{\frac{\sum _{j=1}^{n_2}{\left(Y_j-{\mu }_2\right)}^2}{n_2}}\sim F\left(n_1.n_2\right)$,

拒绝域为 $F>F_{\frac{\alpha }{2}}\left(n_1,n_2\right)$ 或 $F<F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n_1,n_2\right)$.

(4) ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$.

选取检验统计量 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$,当 $H_0$ 为真时 $F\sim F\left(n_1-1,n_2-1\right)$,

显著性水平为 $\alpha$ 的拒绝域为 $F>F_{\frac{\alpha }{2}}\left(n_1-1,n_2-1\right)$ 或 $F<F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n_1-1,n_2-1\right)$.

3. 单侧检验

在假设检验中, 如果只关心总体参数是否偏大或偏小, 此时可将拒绝域确定在某一侧, 这种检验称为单侧检验. 单侧检验可由双侧检验修改转化而得到. 常用基本类型举例:

( 1 ) ${\sigma }^2$ 已知,检验假设 $H_0:\mu \le {\mu }_0;H_1:\mu >{\mu }_0$ (有时也写成 $H_0:\mu ={\mu }_0;H_1:\mu >{\mu }_0$ )

选取 $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$,拒绝域为 $U>u_{\alpha }$.

(2)已知,检验假设 $H_0:\mu \ge {\mu }_0;H_1:\mu <{\mu }_0$

选取 $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$,拒绝域为 $U<-u_{\alpha }$.

(3) ${\sigma }^2$ 未知,检验假设 $H_0:\mu \le {\mu }_0;H_1:\mu >{\mu }_0$

选取 $T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$,拒绝域为 $T>t_{\alpha }\left(n-1\right)$.

(4) ${\sigma }^2$ 未知,检验假设 $H_0:\mu \ge {\mu }_0;H_1:\mu <{\mu }_0$

选取 $T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$,拒绝域为 $T<-t_{\alpha }\left(n-1\right)$.

(5) $\mu$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2;H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$

选取 ${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}$,拒绝域为 ${\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2\left(n-1\right)$.

(6) $\mu$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2;H_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$

选取 ${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}$,拒绝域为 ${\chi }^2<{\chi }_{1-\alpha }^2\left(n-1\right)$.

(7) ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$

选取 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$,拒绝域为 $F>F_{\alpha }\left(n_1-1,n_2-1\right)$.

(8) ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2\ge {\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2$

选取 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$,拒绝域为 $F<F_{1-\alpha }\left(n_1-1,n_2-1\right)$.

其他类型可仿照上述类型得到解决.

基本题型

题型 1: 正态总体均值的检验

【2.1】已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 $N\left(4.55,{0.108}^2\right)$,现在测定了 9 种铁水,其平均含碳量为 4.61. 若估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55 ( $\alpha =$ $0.05)?$

解 根据题意,建立检验假设 $H_0:\mu ={\mu }_0=4.55,H_1:\mu \ne {\mu }_0$.

由于已知 ${\sigma }^2={0.108}^2$,故在 $H_0$ 成立条件下选取统计量

已知 $\alpha =0.05$,查表知 $u_{\frac{\alpha }{2}}=1.96$.

由于 $\bar{X}=4.61,n=9,\sigma =0.108$. 故 $U$ 的观测值为 $\left|U\right|=1.67<1.96=u_{\frac{\alpha }{2}}$.

因此接受 $H_0$,即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55.

【2.2】设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取 36 位考生的成绩,算得平均成绩为 66.5 分, 标准差为 15 分. 问在显著性水平 0.05 下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分? 并给出检验过程.

解 设该次考试的考生成绩为 $X$,则 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,且 ${\sigma }^2$ 未知.

根据题意建立假设 $H_0:\mu =70,H_1:\mu \ne 70$,选取检验统计量

当 $H_0$ 成立时,有 $T=\frac{\bar{X}-70}{S}\sqrt{36}\sim t\left(35\right)$,

计算 $\bar{X}=66.5,S=15$,从而 $t=\frac{66.5-70}{15}\sqrt{36}=-1.4$.

查表可得 $t_{0.025}\left(35\right)=2.0301$. 因为 $\left|t\right|=1.4<2.0301$,所以接受 $H_0$.

即在显著性水平 0.05 下可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分.

【2.3】用甲、乙两种方法生产同一种药品,其成品得率的方差分别为 ${\sigma }_1^2=0.46,{\sigma }_2^2=0.37$. 现测得甲方法生产的药品得率的 25 个数据, $\bar{X}=3.81$; 乙方法生产的药品得率的 30 个数据, $\bar{Y}$ $=3.56$. 设得率服从正态分布. 问甲、乙两种方法的平均得率是否有显著的差异? $\left(\alpha =0.05\right)$

解 根据题意,建立检验假设 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$.

由于方差已知,故在 $H_0$ 成立时,选取统计量

$\alpha =0.05$,查表得 $u_{0.025}=1.96$.

计算 $\left|u\right|=\left|\frac{3.81-3.56}{\sqrt{\frac{0.46}{25}+\frac{0.37}{30}}}\right|=1.426<1.96$.

因此接受 $H_0$,即认为两种方法的平均得率没有显著差异.

【2.4】某烟厂生产甲、乙两种香烟,独立地随机抽取容量大小相同的烟叶标本,测量尼古丁含量的毫克数,一实验室分别做了 6 次测定,数据记录如下: 概率论与数理统计习题精选精解

假定尼古丁含量服从正态分布且具有相同的方差,试问在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下,这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异?

解 提出待检假设 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$. 由于 ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 未知,但相等.

选取统计量,

其中 $n_1=n_2=6$,当 $H_0$ 为真时, $T\sim t\left(6+6-2\right)=t\left(10\right)$;

对 $\alpha =0.05$,拒绝域为 $\left|T\right|\ge t_{\frac{0.05}{2}}\left(10\right)=2.2281$,且 $\bar{X}=25.5,\bar{Y}=25.67,S_1^2=7.5,S_2^2=$ 11.07, 那么

因为 $\left|T\right|\approx 0.099<2.2281=t_{0.025}\left(10\right)$,从而接受 $H_0$,即认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异.

【2.5】要求一种元件使用寿命不得低于 1000h,生产者从一批这种元件中随机抽取 25 件, 测量其寿命的平均值为 $950\mathrm{h}$,已知该种元件寿命服从标准差为 $\sigma =100\mathrm{h}$ 的正态分布,试在显著水平 $\alpha =0.05$ 下确定这批元件是否合格? 设总体均值为 $\mu$,即需检验假设 $H_0:\mu \ge 1000,H_1:\mu$ $<1000$.

解 $H_0:\mu \ge 1000,H_1:\mu <1000$.

此题中, ${\sigma }^2=10000$ 为已知,因此此检验问题的拒绝域为

计算 $\alpha =0.05,\bar{x}=950,\sigma =100,n=25,u_{0.05}=1.645$,

$u$ 落在拒绝域中,所以拒绝 $H_0$,即认为这批元件不合格.

【2. 6】下面列出的是某厂随机选取的 20 只部件的装配时间(分):

$\begin{array}{llllllllll}9.8& 10.4& 10.6& 9.6& 9.7& 9.9& 10.9& 11.1& 9.6& 10.2\end{array}$

$\begin{array}{llllllllll}10.3& 9.6& 9.9& 11.2& 10.6& 9.8& 10.5& 10.1& 10.5& 9.7\end{array}$

设装配时间的总体服从正态分布 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),\mu ,{\sigma }^2$ 均未知,是否可以认为装配时间的均值显著大于 $10\left(\alpha =0.05\right)$ ?

解 需要检验的假设为 $H_0:\mu \le 10,H_1:\mu >10$.

${\sigma }^2$ 未知,因此,拒绝域的形式为

现在 $n=20,\alpha =0.05$,查表得 $t_{\alpha }\left(n-1\right)=1.7291$. 算得 $\bar{x}=10.2,s^2=0.26,s=0.51$.

因为 $t$ 落在拒绝域之内,故应拒绝 $H_0$,即认为装配时间的均值显著大于 10 (分).

题型 2: 正态总体方差的检验

【2.7】已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 $N\left(\mu ,{0.048}^2\right)$. 某日抽取 5 根纤维,测得其纤度为 1.32,1.55,1.36,1.40,1.44. 问这一天纤度总体方差是否正常? $\left(\alpha =0.05\right)$

解 根据题意,建立检验假设 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2={0.048}^2,H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$.

由于 $\mu$ 未知,故在 $H_0$ 成立条件下选取统计量如下

$\alpha =0.05$,自由度为 $n-1=5-1=4$. 查 ${\chi }^2$ 分布表得 ${\chi }_{0.025}^2\left(4\right)=11.1,{\chi }_{0.975}^2\left(4\right)=0.484$, 其中 $\left(n-1\right)S^2=\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2=\sum _{i=1}^5{X}_i^2-5{\bar{X}}^2=0.03142$,则

因此拒绝 $H_0$,即认为这一天纤度方差有显著变化.

【2.8】(接上例) 若规定加工精度 ${\sigma }^2$ 不能超过 ${0.048}^2$,试在 $\alpha =0.05$ 下检验该日产品的精度是否正常?

解 建立检验假设 $H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2={0.048}^2,H_1:{\sigma }^2>{0.048}^2$.

(或者 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2={0.048}^2,H_1:{\sigma }^2>{0.048}^2$.)

由于 $\mu$ 未知,当 $H_0$ 成立时

$\alpha =0.05$,自由度为 $n-1=5-1=4$. 查 ${\chi }^2$ 分布表得 ${\chi }_{0.05}^2\left(4\right)=9.488$,

其中 $\left(n-1\right)S^2=\sum _{i=1}^5{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2=0.03142$,则

因此拒绝 $H_0$,认为这一天产品的精度不正常.

点评 【2.7】和【2.8】是在期望未知的情形下,对正态总体方差的检验问题.

比较【2.7】和【2.8】,可知单侧检验与双侧检验所用统计量及其计算是一样的. 只是拒绝域不同.

【2.9】一种混杂的小麦品种,株高的标准差为 ${\sigma }_0=14\mathrm{cm}$,经提纯后随机抽取 10 株,它们的株高 (以 $\mathrm{cm}$ 计) 为

$\begin{array}{llllllllll}90& 105& 101& 95& 100& 100& 101& 105& 93& 97\end{array}$

考虑提纯后群体是否比原群体整齐? 取显著性水平 $\alpha =0.01$,并设小麦株高服从 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$.

解 需假设检验 $\left(\alpha =0.01\right),H_0:\sigma \ge {\sigma }_0,H_1:\sigma <{\sigma }_0\left({\sigma }_0=14\right)$.

采用 ${\chi }^2$ 检验法. 拒绝域为

现在 $n=10,{\chi }_{1-0.01}^2\left(9\right)=2.088,s^2=24.233$,

落在拒绝域内,故拒绝 $H_0$,认为提纯后的群体比原群体整齐.

【2.10】某一橡胶配方中,原用氧化锌 5 克,现减为 1 克,若分别用两种配方做一批试验. 5 克配方测 9 个橡胶伸长率,其样本方差为 $s_1^2=63.86.1$ 克配方测 10 个橡胶伸长率,其样本方差为 $s_2^2=236.8$. 设橡胶伸长率遵从正态分布,问两种配方伸长率的总体标准差有无显著差异? $\left(\alpha =0.10,\alpha =0.05\right)$.

解 设 $X,Y$ 分别为 5 克配方,1 克配方的橡胶伸长率,

假设为 $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$. 应选取检验统计量为 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$.

当 $H_0$ 成立时, $F$ 服从自由度为 $\left(n_1-1,n_2-1\right)$ 的 $F$ 分布,查 $F\left(8,9\right)$ 分布表得

$\alpha =0.10$ 时, $F_{\frac{0.10}{2}}\left(8,9\right)=3.23,F_{1-\frac{0.10}{2}}\left(8,9\right)=0.295$,

$\alpha =0.05$ 时, $F_{\frac{0.05}{2}}\left(8,9\right)=4.10,F_{1-\frac{0.05}{2}}\left(8,9\right)=0.2294$,

所以

当 $\alpha =0.10$ 时,否定域为 $F\ge 3.23$ 或 $F\le 0.295$,

当 $\alpha =0.05$ 时,否定域为 $F\ge 4.10$ 或 $F\le 0.2294$,

由题设中条件,计算得 $F=0.2697$,故在 $\alpha =0.10$ 时,否定 $H_0$; 在 $\alpha =0.05$ 时,不能否定 $H_0$.

【2.11】为比较不同季节出生的女婴体重的方差,从某年 12 月和 6 月出生的女婴中分别随机地选取 6 名及 10 名, 测其体重 (单位: g) 如下表所示

假定冬、夏新生女婴体重分别服从正态分布 $N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$,试在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下, 检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$.

解 在 $\alpha =0.05$ 下,检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2$.

选取检验统计量 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$,当 $H_0$ 为真时, $F\sim F\left(n_1-1,n_2-1\right)$.

对 $\alpha =0.05$,拒绝域为

而由题意可知 $S_1^2=505667,S_2^2=93956$,那么检验统计量 $F$ 的观察值为

作出判断: $F$ 落入拒绝域内,故拒绝 $H_0$,即认为新生女婴体重的方差冬季不比夏季的小.

题型 3: 配对问题

【2.12】为了试验两种不同谷物的种子的优劣, 选取了 10 块土质不同的土地, 并将每块土地分为面积相同的两部分,分别种植 $A\text{、}B$ 两种种子,设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样,下面给出各块土地上的单位面积产量.

设 $D_i=X_i-Y_i\left(i=1,2,\cdots ,10\right)$ 是来自正态总体 $N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right)$ 的样本, ${\mu }_D,{\sigma }_D^2$ 均未知,问以这两种种子种植的谷物的产量是否有显著的差异 (取 $\alpha =0.05$ )?

解 设 $D=X-Y\sim N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right),D_i=X_i-Y_i$.

检验假设 $H_0:{\mu }_D=0,H_1:{\mu }_D\ne 0$.

该检验的拒绝域为 $\left|t\right|=\left|\frac{\bar{D}-0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\right|\ge t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)$,此处 $\alpha =0.05,\frac{\alpha }{2}=0.025,n=10$,

查表知 $t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)=2.2622$,计算得 $\bar{d}=-0.2,s^2=19.822,s=4.45$,

于是 $\left|t\right|=\left|\frac{-0.2-0}{\frac{4.45}{\sqrt{10}}}\right|=0.1424<2.2622$.

$t$ 没落在拒绝域,故接受 $H_0$,认为没有显著差异.

【2.13】为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量,选取了 15 个男子(他们的生活条件各不相同),每个人穿一双新鞋,其中一只是以材料 $A$ 做后跟,另一只以材料 $B$ 做后跟,其厚度均为 $10\mathrm{mm}$,过了一个月再测量厚度,得到数据如下:

设 $D_i=X_i-Y_i\left(i=1,2,\cdots ,15\right)$ 是来自正态总体 $N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right)$ 的样本, ${\mu }_D,{\sigma }_D^2$ 均未知,问是否可以认为用材料 $A$ 制作的后跟比用材料 $B$ 制作的耐穿 $\left(\alpha =0.05\right)$ ?

解 成对试验 $D=X-Y\sim N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right),D_i=X_i-Y_i$.

检验假设 $H_0:{\mu }_D\le 0,H_1:{\mu }_D>0$.

因 ${\sigma }_D^2$ 未知,拒绝域为 $t=\frac{\bar{D}-0}{\frac{S_D}{\sqrt{n}}}\ge t_{\alpha }\left(n-1\right)$,这里 $n=15,\alpha =0.05,t_{0.05}\left(14\right)=1.7613$, 概率论与数理统计习题精选精解

计算得 $\bar{D}=0.553,S_D^2={\left(1.0225\right)}^2$,于是 $t=\frac{0.553-0}{\frac{1.0225}{\sqrt{15}}}=2.0958>1.7613$,

$t$ 落在拒绝域中,拒绝 $H_0$,认为 $A$ 比 $B$ 耐穿.

§3. 综合提高题型

题型 1: 正态总体参数的假设检验

【3.1】设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 的简单随机样本,其中参数 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 未知, 记

则假设 $H_0:\mu =0$ 的 $t$ 检验使用统计量_____.

解 因为 ${\sigma }^2$ 未知,故取统计量 $t=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$,由 $\mu =0,S^2=\frac{Q^2}{n-1}$,得 $t=\frac{\bar{X}}{Q}\sqrt{n\left(n-1\right)}$.

故应填 $\frac{\bar{X}}{Q}\sqrt{n\left(n-1\right)}$.

【3.2】已知总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,其中 $\mu$ 是未知参数, $X_1,X_2,\cdots ,X_{16}$ 是其样本, $\bar{X}$ 为样本均值,如果对检验 $H_0:\mu ={\mu }_0$,取拒绝域 $\left\{\left|\bar{X}-{\mu }_0\right|>k\right\}$,则 $k=$ _____ $\left(\alpha =0.05\right)$.

解 $P\left\{\left|\bar{X}-{\mu }_0\right|>k\right\}=0.05$,则

即 $k\cdot \frac{4}{\sigma }=u_{0.025}=1.96$,从而 $k=0.49\sigma$.

故应填 0.49 σ.

【3.3】设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,现对 $\mu$ 进行假设检验,如在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下接受了 $H_0$ : $\mu ={\mu }_0$,则在显著性水平 $\alpha =0.01$ 下 ( ).

(A) 接受 $H_0$ (B) 拒绝 $H_0$

(C) 可能接受,可能拒绝 $H_0$ (D) 第一类错误概率变大

解 无论 ${\sigma }^2$ 已知或未知,即无论选取 $U$ 统计量还是 $T$ 统计量,当 $\alpha$ 变小时,拒绝域更小,在原显著性水平下能接受 $H_0$,现在也能接受.

故应选(A).

【3.4】设总体 $X\sim N\left(\mu ,8\right),X_1,\cdots ,X_n$ 是其样本,如果在 $\alpha =0.05$ 水平上检验 $H_0:\mu ={\mu }_0$, $H_1:\mu \ne {\mu }_0$,其拒绝域为 $\left|\bar{X}-{\mu }_0\right|\ge 1.96$,则样本容量 $n=$ _____.

解 当 ${\sigma }^2=8$ 时,检验 $H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$,拒绝域应为 $\left|U\right|\ge u_{\frac{\alpha }{2}}$,

即

由题意 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=1$,故 $n={\sigma }^2=8$.

【3.5】设总体 $X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$,检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2,\alpha =0$. 10. 从 $X\text{、}Y$ 分别抽取容量为 $n_1=12,n_2=10$ 的样本,算得 $S_1^2=118.4,S_2^2=31.93$. 则正确的检验为( ).

(A) 用 $t$ 检验法,拒绝 $H_0$ (B) 用 $t$ 检验法,接受 $H_0$

(C) 用 $F$ 检验法,拒绝 $H_0$ (D) 用 $F$ 检验法,接受 $H_0$

解 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知,检验两个正态总体方差相等,应选 $F$ 检验法.

因为 $\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{118.4}{31.93}=3.71,F_{0.05}\left(11,9\right)=3.10$,所以 $f>F_{0.05}\left(11,9\right)$,应拒绝 $H_0$.

故应选(C).

【3.6】某批矿砂的 5 个样品中的镍含量,经测定为 (%) 3.24 3.27 3.24 3.26 3.24. 设测定值总体服从正态分布,但参数均未知,问在 $\alpha =0.01$ 下能否接受假设:这批矿砂的镍含量的均值为 3.25.

解 按题意需检验 $H_0:\mu =3.25,H_1:\mu \ne 3.25$.

此题 ${\sigma }^2$ 未知,此检验问题的拒绝域为