知识要点 1. 假设检验基本概念

1. 假设检验

对总体的分布类型或分布中的某些未知参数作出假设, 然后抽取样本并选择一个合适的检验统计量,利用检验统计量的观察值和预先给定的误差 $\alpha$,对所作假设成立与否作出定性判断, 这种统计推断称为假设检验. 若总体分布已知, 只对分布中未知参数提出假设并作检验, 这种检验称为参数检验.

2. 假设检验基本思想的依据是小概率原理

小概率原理是指概率很小的事件在试验中发生的频率也很小, 因此小概率事件在一次试验中不可能发生.

当对问题提出待检假设 $H_0$,并要检验它是否可信时,先假定 $H_0$ 正确. 在这个假定下,经过一次抽样,若小概率事件发生了,就作出拒绝 $H_0$ 的决定; 否则,若小概率事件未发生,则接受 $H_0$.

3. 假设检验基本概念

在显著性水平 $\alpha$ 下,检验假设.

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0.$$

$H_0$ 称为原假设或零假设. $H_1$ 称为备择假设.

当检验统计量取某个区域 $C$ 中的值时,我们拒绝原假设 $H_0$,则称区域 $C$ 为拒绝域 (或否定域).

4. 假设检验过程

(1)提出原假设和备择假设;

(2)选取检验统计量；

(3)确定拒绝原假设的域；

(4)计算检验统计量的观察值并作出判断.

5. 两类错误

人们作出判断的依据是一个样本,样本是随机的,因而人们进行假设检验判断 $H_0$ 可信与否时, 不免发生误判而犯两类错误.

第一类错误: $H_0$ 为真,而检验结果将其否定,这称为” 弃真” 错误;

第二类错误: $H_0$ 不真,而检验结果将其接受,这称为”取伪” 错误.

分别记犯第一、二类错误的概率为 $\alpha ,\beta$,即 $\alpha =P\{$ 拒绝 $H_0\mid H_0\text{为真}\},\beta =P\{$ 接受 $H_0\mid H_0$ 不真}. 当样本容量 $n$ 固定时, $\alpha$ 越小, $\beta$ 就越大. 一般采取的原则是: 固定 $\alpha$,通过增加样本容量 $n$ 降低 $\beta$.

6. 假设检验与区间估计的联系

假设检验与区间估计是从不同角度来对同一问题的回答, 其解决问题的途径相通.

下面以正态总体 $N\left(\mu ,{\sigma }_0^2\right)$,其中 ${\sigma }_0^2$ 已知,关于 $\mu$ 的假设检验和区间估计为例加以说明:

假设 $H_0:\mu ={\mu }_0$,当 $H_0$ 为真时,则 $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N\left(0,1\right)$,对于给定的显著性水平 $\alpha ,P\{\mid$ $U|\le u_{\frac{\alpha }{2}}\}=1-\alpha$,那么 $H_0$ 的接受域为 $\left(\bar{X}\pm u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}\right)$,即认为以 $1-\alpha$ 的概率接受 $H_0$,事实上这个接受域也是 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间. 这充分说明两者解决问题的途径相同,假设检验判断的是结论是否成立, 而参数估计解决的是范围问题.