知识要点 2. 正态总体参数的假设检验

1. 一个正态总体的假设检验

设 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本,

(1) ${\sigma }^2$ 已知, 检验假设 $H_0:\mu ={\mu }_0;H_1:\mu \ne {\mu }_0$.

检验步骤为:

1. 提出待检假设 $H_0:\mu ={\mu }_0({\mu }_0$ 已知);

2. 选取样本 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 的统计量 $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}}\left({\sigma }_0\text{已知}\right)$, 在 $H_0$ 成立时, $U\sim N\left(0,1\right)$;

3. 对给定的显著性水平 $\alpha$, 查表确定临界值 $u_{\frac{\alpha }{2}}$, 使得 $P\left\{\left|U\right|>u_{\frac{\alpha }{2}}\right\}=\alpha$, 计算检验统计量 $U$ 的观察值并与临界值 $u_{\frac{\alpha }{2}}$ 比较;

4. 作出判断: 若 $\left|U\right|>u_{\frac{\alpha }{2}}$,则拒绝 $H_0$; 若 $\left|U\right|<u_{\frac{\alpha }{2}}$,则接受 $H_0$.

(2) ${\sigma }^2$ 未知, 检验假设 $H_0:\mu ={\mu }_0;H_1:\mu \ne {\mu }_0$.

选取统计量 $T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$, 其中 $S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$, 当 $H_0$ 为真时, $T\sim t\left(n-1\right)$.

拒绝域为 $\left|T\right|>t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)$.

(3) $\mu$ 已知,检验假设 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2;H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$.

选取统计量 ${\chi }^2=\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-{\mu }_0\right)}^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2\left(n\right)$,

拒绝域为 ${\chi }^2>{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)$ 或 ${\chi }^2<{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)$.

(4) $\mu$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2;H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$.

选取统计量 ${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}$. 当 $H_0$ 为真时, ${\chi }^2\sim {\chi }^2\left(n-1\right)$,

拒绝域为 ${\chi }^2>{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)$ 或 ${\chi }^2<{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)$.

2. 两个正态总体的假设检验

设 $X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right),\left(X_1,X_2,\cdots ,X_{n_1}\right)$ 和 $\left(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{n_2}\right)$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 的样本, $\bar{X}\text{、}{S}_1^2$ 和 $\bar{Y}\text{、}{S}_2^2$ 是相应的样本的均值和方差,

(1) ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知,检验假设 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2;H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$.

选取统计量 $U=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N\left(0,1\right)$.

拒绝域为 $\left|U\right|>u_{\frac{\alpha }{2}}$.

(2) ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 未知,检验假设 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2;H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$. 常见的三种特殊情形:

① 当 $n_1,n_2$ 较大时:

选取统计量 $U=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}\stackrel{\text{近似}}{\sim }N\left(0,1\right)$.

拒绝域为 $\left|U\right|>u_{\frac{\alpha }{2}}$.

② ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 时:

选取检验统计量 $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\left(n_1-1\right)S_1^2+\left(n_2-1\right)S_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$,当 $H_0$ 为真时, $T\sim t(n_1+n_2-$

2),

显著性水平为 $\alpha$ 的拒绝域为 $\left|T\right|>t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n_1+n_2-2\right)$.

③ ${\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$,但 $n_1=n_2$ (配对问题):

令 $D_i=X_i-Y_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$,则 $D_i\sim N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right)$,其中 ${\mu }_D={\mu }_1-{\mu }_2,{\sigma }_D^2={\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$ (未知).

此时检验假设等价于 $H_0:{\mu }_D=0;H_1:{\mu }_D\ne 0$.

选取统计量 $T=\frac{\bar{D}-{\mu }_D}{\frac{S_D}{\sqrt{n}}}\sim t\left(n-1\right)$.

拒绝域为 $\left|T\right|>t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)$.

( 3 ) ${\mu }_1,{\mu }_2$ 已知,检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$.

选取统计量 $F=\frac{\frac{\sum _{i=1}^{n_1}{\left(X_i-{\mu }_1\right)}^2}{n_1}}{\frac{\sum _{j=1}^{n_2}{\left(Y_j-{\mu }_2\right)}^2}{n_2}}\sim F\left(n_1.n_2\right)$,

拒绝域为 $F>F_{\frac{\alpha }{2}}\left(n_1,n_2\right)$ 或 $F<F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n_1,n_2\right)$.

(4) ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$.

选取检验统计量 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$,当 $H_0$ 为真时 $F\sim F\left(n_1-1,n_2-1\right)$,

显著性水平为 $\alpha$ 的拒绝域为 $F>F_{\frac{\alpha }{2}}\left(n_1-1,n_2-1\right)$ 或 $F<F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n_1-1,n_2-1\right)$.

3. 单侧检验

在假设检验中, 如果只关心总体参数是否偏大或偏小, 此时可将拒绝域确定在某一侧, 这种检验称为单侧检验. 单侧检验可由双侧检验修改转化而得到. 常用基本类型举例:

( 1 ) ${\sigma }^2$ 已知,检验假设 $H_0:\mu \le {\mu }_0;H_1:\mu >{\mu }_0$ (有时也写成 $H_0:\mu ={\mu }_0;H_1:\mu >{\mu }_0$ )

选取 $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$,拒绝域为 $U>u_{\alpha }$.

(2)已知,检验假设 $H_0:\mu \ge {\mu }_0;H_1:\mu <{\mu }_0$

选取 $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$,拒绝域为 $U<-u_{\alpha }$.

(3) ${\sigma }^2$ 未知,检验假设 $H_0:\mu \le {\mu }_0;H_1:\mu >{\mu }_0$

选取 $T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$,拒绝域为 $T>t_{\alpha }\left(n-1\right)$.

(4) ${\sigma }^2$ 未知,检验假设 $H_0:\mu \ge {\mu }_0;H_1:\mu <{\mu }_0$

选取 $T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$,拒绝域为 $T<-t_{\alpha }\left(n-1\right)$.

(5) $\mu$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2;H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$

选取 ${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}$,拒绝域为 ${\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2\left(n-1\right)$.

(6) $\mu$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2;H_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$

选取 ${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}$,拒绝域为 ${\chi }^2<{\chi }_{1-\alpha }^2\left(n-1\right)$.

(7) ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$

选取 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$,拒绝域为 $F>F_{\alpha }\left(n_1-1,n_2-1\right)$.

(8) ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知,检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2\ge {\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2$

选取 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$,拒绝域为 $F<F_{1-\alpha }\left(n_1-1,n_2-1\right)$.

其他类型可仿照上述类型得到解决.