题型 2 正态总体方差的检验

2.7

已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 $N\left(\mu ,{0.048}^2\right)$. 某日抽取 5 根纤维,测得其纤度为 1.32,1.55,1.36,1.40,1.44. 问这一天纤度总体方差是否正常? $\left(\alpha =0.05\right)$

解

根据题意,建立检验假设 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2={0.048}^2,H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$.

由于 $\mu$ 未知,故在 $H_0$ 成立条件下选取统计量如下

$${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2\left(n-1\right),$$

$\alpha =0.05$,自由度为 $n-1=5-1=4$. 查 ${\chi }^2$ 分布表得 ${\chi }_{0.025}^2\left(4\right)=11.1,{\chi }_{0.975}^2\left(4\right)=0.484$, 其中 $\left(n-1\right)S^2=\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2=\sum _{i=1}^5{X}_i^2-5{\bar{X}}^2=0.03142$,则

$$\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}=\frac{0.03142}{{0.048}^2}\approx 13.64>{\chi }_{0.025}^2\left(4\right).$$

因此拒绝 $H_0$,即认为这一天纤度方差有显著变化.

2.8

(接上例) 若规定加工精度 ${\sigma }^2$ 不能超过 ${0.048}^2$,试在 $\alpha =0.05$ 下检验该日产品的精度是否正常?

解

建立检验假设 $H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2={0.048}^2,H_1:{\sigma }^2>{0.048}^2$.

(或者 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2={0.048}^2,H_1:{\sigma }^2>{0.048}^2$.)

由于 $\mu$ 未知,当 $H_0$ 成立时

$${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2\left(n-1\right),$$

$\alpha =0.05$,自由度为 $n-1=5-1=4$. 查 ${\chi }^2$ 分布表得 ${\chi }_{0.05}^2\left(4\right)=9.488$,

其中 $\left(n-1\right)S^2=\sum _{i=1}^5{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2=0.03142$,则

$$\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}=\frac{0.03142}{{0.048}^2}\approx 13.64>9.488={\chi }_{0.05}^2\left(4\right).$$

因此拒绝 $H_0$,认为这一天产品的精度不正常.

点评

2.7 和 2.8是在期望未知的情形下,对正态总体方差的检验问题.

比较 2.7 和 2.8,可知单侧检验与双侧检验所用统计量及其计算是一样的. 只是拒绝域不同.

2.9

一种混杂的小麦品种,株高的标准差为 ${\sigma }_0=14\mathrm{cm}$,经提纯后随机抽取 10 株,它们的株高 (以 $\mathrm{cm}$ 计) 为

$\begin{array}{llllllllll}90& 105& 101& 95& 100& 100& 101& 105& 93& 97\end{array}$

考虑提纯后群体是否比原群体整齐? 取显著性水平 $\alpha =0.01$,并设小麦株高服从 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$.

解

需假设检验 $\left(\alpha =0.01\right),H_0:\sigma \ge {\sigma }_0,H_1:\sigma <{\sigma }_0\left({\sigma }_0=14\right)$.

采用 ${\chi }^2$ 检验法. 拒绝域为

$${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}<{\chi }_{1-\alpha }^2\left(9\right),$$

现在 $n=10,{\chi }_{1-0.01}^2\left(9\right)=2.088,s^2=24.233$,

$${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)s^2}{{\sigma }_0^2}=\frac{218.1}{{14}^2}=1.11<2.088.$$

落在拒绝域内,故拒绝 $H_0$,认为提纯后的群体比原群体整齐.

2.10

某一橡胶配方中,原用氧化锌 5 克,现减为 1 克,若分别用两种配方做一批试验. 5 克配方测 9 个橡胶伸长率,其样本方差为 $s_1^2=63.86.1$ 克配方测 10 个橡胶伸长率,其样本方差为 $s_2^2=236.8$. 设橡胶伸长率遵从正态分布,问两种配方伸长率的总体标准差有无显著差异? $\left(\alpha =0.10,\alpha =0.05\right)$.

解

设 $X,Y$ 分别为 5 克配方,1 克配方的橡胶伸长率,

$$X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right),n_1=9,n_2=10.$$

假设为 $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$. 应选取检验统计量为 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$.

当 $H_0$ 成立时, $F$ 服从自由度为 $\left(n_1-1,n_2-1\right)$ 的 $F$ 分布,查 $F\left(8,9\right)$ 分布表得

$\alpha =0.10$ 时, $F_{\frac{0.10}{2}}\left(8,9\right)=3.23,F_{1-\frac{0.10}{2}}\left(8,9\right)=0.295$,

$\alpha =0.05$ 时, $F_{\frac{0.05}{2}}\left(8,9\right)=4.10,F_{1-\frac{0.05}{2}}\left(8,9\right)=0.2294$,

所以

当 $\alpha =0.10$ 时,否定域为 $F\ge 3.23$ 或 $F\le 0.295$,

当 $\alpha =0.05$ 时,否定域为 $F\ge 4.10$ 或 $F\le 0.2294$,

由题设中条件,计算得 $F=0.2697$,故在 $\alpha =0.10$ 时,否定 $H_0$; 在 $\alpha =0.05$ 时,不能否定 $H_0$.

2.11

为比较不同季节出生的女婴体重的方差,从某年 12 月和 6 月出生的女婴中分别随机地选取 6 名及 10 名, 测其体重 (单位: g) 如下表所示

12 月 $X$	3520	2960	2560	2960	3260	3960
6 月 $Y$	3220	3220	3760	3000	2920	3740	3060	3080	2940	3060

假定冬、夏新生女婴体重分别服从正态分布 $N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$,试在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下, 检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$.

解

在 $\alpha =0.05$ 下,检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2$.

选取检验统计量 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$,当 $H_0$ 为真时, $F\sim F\left(n_1-1,n_2-1\right)$.

对 $\alpha =0.05$,拒绝域为

$$F>F_{\alpha }\left(n_1-1,n_2-1\right)=F_{0.05}\left(5,9\right)=3.48,$$

而由题意可知 $S_1^2=505667,S_2^2=93956$,那么检验统计量 $F$ 的观察值为

$$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{505667}{93956}=5.382>3.48=F_{0.05}\left(5,9\right),$$

作出判断: $F$ 落入拒绝域内,故拒绝 $H_0$,即认为新生女婴体重的方差冬季不比夏季的小.