选择题 2

题目

设 A，B 是两个随机事件，已知 $P(A)=\frac{2}{5}$， $P(B)=\frac{4}{5}$，$P(B|\overline{A})=\frac{5}{6}$。则下列哪个选项是正确的？

(A) $P(\overline{A}|B)=\frac{1}{2}$ (B) $P(\overline{A}|B)=\frac{3}{4}$ (C) $P(\overline{A}|B)=\frac{5}{8}$ (D) $P(\overline{A}|B)=\frac{12}{25}$

解答

1. 理解题目和目标 题目给出了关于随机事件 A 和 B 的一些概率，要求计算条件概率 $P(\overline{A}|B)$。 其中 $\overline{A}$ 表示事件 A 的对立事件。

2. 已知条件

• $P(A)=\frac{2}{5}$
• $P(B)=\frac{4}{5}$
• $P(B|\overline{A})=\frac{5}{6}$

3. 计算 $P(\overline{A})$ 事件 $\overline{A}$ 是 A 的对立事件，所以其概率为： $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$

4. 计算 $P(\overline{A}\cap B)$ 根据条件概率的定义，$P(B|\overline{A})=\frac{P(B\cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$。 我们可以通过这个公式计算 $P(B\cap \overline{A})$，也就是 $P(\overline{A}\cap B)$： $P(\overline{A}\cap B)=P(B|\overline{A})\times P(\overline{A})$ $P(\overline{A}\cap B)=\frac{5}{6}\times \frac{3}{5}$ $P(\overline{A}\cap B)=\frac{5\times 3}{6\times 5}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$

5. 计算 $P(\overline{A}|B)$ 根据条件概率的定义，$P(\overline{A}|B)=\frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(B)}$。 我们已经计算出 $P(\overline{A}\cap B)=\frac{1}{2}$，并且已知 $P(B)=\frac{4}{5}$。 $P(\overline{A}|B)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{4}{5}}$ $P(\overline{A}|B)=\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}$ $P(\overline{A}|B)=\frac{5}{8}$

6. 选择答案 计算得到的 $P(\overline{A}|B)=\frac{5}{8}$。 对照选项： (A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{3}{4}$ (C) $\frac{5}{8}$ (D) $\frac{12}{25}$

因此，正确选项是 (C)。

结论

$P(\overline{A}|B)=\frac{5}{8}$。

所以，正确答案是 (C).