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设 $A,B$ 为两个随机事件，且 $P(A)=P(B)=\frac{1}{3},P(AB)=\frac{1}{6}$ ，则 $A,B$ 中恰有一个事件发生的概率为 ( ). (A) $\frac{2}{3}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{1}{4}$

解答步骤与解释

1. 事件 $A,B$ 中恰有一个发生可以表示为 $(A\cap B^c)\cup (A^c\cap B)$，或者表示为 $(A\cup B)\setminus (A\cap B)$。
2. $A,B$ 中恰有一个事件发生的概率 $P_1$ 为： $P_1=P(A\cap B^c)+P(A^c\cap B)$
3. 我们知道 $P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B)$ 且 $P(A^c\cap B)=P(B)-P(A\cap B)$。
4. 所以，$P_1=(P(A)-P(A\cap B))+(P(B)-P(A\cap B))$ $P_1=P(A)+P(B)-2P(A\cap B)$
5. 代入已知值： $P_1=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-2\cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

答案：(C)