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随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X=k)=\frac{1}{2^k},k=1,2,\dots$。 $Y$ 为 $X$ 被3除的余数，则 $E(Y)=$ ( )。 (A) $\frac{5}{6}$ (B) $\frac{7}{12}$ (C) $\frac{8}{7}$ (D) $\frac{5}{14}$

解答步骤与解释：

1. $Y=X(\mathrm{mod}3)$。$Y$ 的可能取值为 $0,1,2$。
2. 计算 $P(Y=y)$：
   • $P(Y=1)=P(X=1)+P(X=4)+P(X=7)+\cdots ={\sum }_{m=0}^{\infty }P(X=3m+1)$ $={\sum }_{m=0}^{\infty }\frac{1}{2^{3m+1}}=\frac{1}{2}{\sum }_{m=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{8}\right)}^m=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-1/8}=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{7}=\frac{4}{7}$。
   • $P(Y=2)=P(X=2)+P(X=5)+P(X=8)+\cdots ={\sum }_{m=0}^{\infty }P(X=3m+2)$ $={\sum }_{m=0}^{\infty }\frac{1}{2^{3m+2}}=\frac{1}{4}{\sum }_{m=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{8}\right)}^m=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-1/8}=\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{7}=\frac{2}{7}$。
   • $P(Y=0)=P(X=3)+P(X=6)+P(X=9)+\cdots ={\sum }_{m=0}^{\infty }P(X=3m+3)$ $={\sum }_{m=0}^{\infty }\frac{1}{2^{3m+3}}=\frac{1}{8}{\sum }_{m=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{8}\right)}^m=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{1-1/8}=\frac{1}{8}\cdot \frac{8}{7}=\frac{1}{7}$。
   • (检验: $\frac{4}{7}+\frac{2}{7}+\frac{1}{7}=\frac{7}{7}=1$)
3. 计算 $E(Y)$： $E(Y)=\sum y\cdot P(Y=y)=0\cdot P(Y=0)+1\cdot P(Y=1)+2\cdot P(Y=2)$ $E(Y)=0\cdot \frac{1}{7}+1\cdot \frac{4}{7}+2\cdot \frac{2}{7}=\frac{4}{7}+\frac{4}{7}=\frac{8}{7}$。

答案：(C)