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设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X\sim B(1,p),Y\sim B(2,p),0<p<1,$ 则 $X+Y$ 与 $X-Y$ 的相关系数为 ( )。 (A) $-\frac{1}{6}$ (B) $\frac{3}{4}$ (C) $-\frac{1}{5}$ (D) $-\frac{1}{3}$

解答步骤与解释：

1. 相关系数 $\rho (U,V)=\frac{Cov(U,V)}{\sqrt{Var(U)Var(V)}}$，其中 $U=X+Y,V=X-Y$。
2. 计算期望和方差：
   • $X\sim B(1,p)⟹E(X)=p,Var(X)=p(1-p)$。
   • $Y\sim B(2,p)⟹E(Y)=2p,Var(Y)=2p(1-p)$。
3. 计算 $Var(U)$ 和 $Var(V)$：
   • $Var(U)=Var(X+Y)$。由于 $X,Y$ 独立, $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=p(1-p)+2p(1-p)=3p(1-p)$。
   • $Var(V)=Var(X-Y)$。由于 $X,Y$ 独立, $Var(X-Y)=Var(X)+Var(-Y)=Var(X)+(-1{)}^{2}Var(Y)=Var(X)+Var(Y)=3p(1-p)$。
4. 计算 $Cov(U,V)$： $Cov(U,V)=Cov(X+Y,X-Y)$ $=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)$ $=Var(X)-Cov(X,Y)+Cov(X,Y)-Var(Y)$ 由于 $X,Y$ 独立, $Cov(X,Y)=0$。 $Cov(U,V)=Var(X)-Var(Y)=p(1-p)-2p(1-p)=-p(1-p)$。
5. 计算相关系数： $\rho (U,V)=\frac{-p(1-p)}{\sqrt{3p(1-p)\cdot 3p(1-p)}}=\frac{-p(1-p)}{3p(1-p)}$。 因为 $0<p<1$, $p(1-p)\ne 0$。 $\rho (U,V)=-\frac{1}{3}$。

答案：(D)