7

7

设 $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 为总体 $N(1,4)$ 的一个样本，$\bar{X}$ 为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）。 (A) $\frac{\bar{X}-1}{2/\sqrt{n}}\sim t(n)$ (B) $\frac{1}{4}{\sum }_{i=1}^n(X_i-1{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$ (C) $\frac{\bar{X}-1}{\sqrt{2}/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ (D) $\frac{1}{4}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$

解答步骤与解释：

1. 总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\mu =1,{\sigma }^2=4⟹\sigma =2$。
2. 分析选项：
   • (A) $\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$。这里 $\sigma$ 已知，所以 $\frac{\bar{X}-1}{2/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，而不是 $t(n)$ 分布。$t$ 分布是在 $\sigma$ 未知并用样本标准差 $S$ 替代时使用。故 (A) 错误。
   • (B) 若 $X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 ${\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(n)$。 这里 ${\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{X_i-1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}{\sum }_{i=1}^n(X_i-1{)}^2\sim {\chi }^2(n)$。故 (B) 错误（自由度应为 $n$）。
   • (C) $\bar{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)=N(1,4/n)$。标准化后应为 $\frac{\bar{X}-1}{2/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$。分母是 $\sqrt{2}/\sqrt{n}$ 不正确。故 (C) 错误。
   • (D) 我们知道 $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$，其中 $S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$ 是样本方差。 所以 $\frac{(n-1)}{{\sigma }^2}\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$。 代入 ${\sigma }^2=4$，得到 $\frac{1}{4}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$。故 (D) 正确。

答案：(D)