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设总体 $X$ 服从区间 $[\theta ,2\theta ]$ ($\theta >0$) 上的均匀分布, $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 是取自总体 $X$ 的样本, 那么 $\theta$ 的矩估计量 ${\hat{\theta }}_M$ 是( )。 (A) $\frac{1}{2}\bar{X}$ (B) $\frac{2}{3}\bar{X}$ (C) $\frac{3}{4}\bar{X}$ (D) $\frac{4}{5}\bar{X}$

解答步骤与解释：

1. 对于均匀分布 $U[a,b]$，其期望为 $E(X)=\frac{a+b}{2}$。
2. 在此题中，$a=\theta ,b=2\theta$，所以 $E(X)=\frac{\theta +2\theta }{2}=\frac{3\theta }{2}$。
3. 矩估计法通过令总体矩等于相应的样本矩来估计参数。这里用一阶矩： $E(X)=\bar{X}$ (样本均值)。
4. 所以，$\frac{3\theta }{2}=\bar{X}$。
5. 解出 $\theta$ 的矩估计量 ${\hat{\theta }}_M$： ${\hat{\theta }}_M=\frac{2}{3}\bar{X}$。

答案：(B)