三、（10分）

三、（10分）

设供电站供应某地区1200户居民用电，

• 各户用电情况相互独立
• 已知每户每天用电量（单位：度）在 $[0，20]$ 上服从均匀分布。

现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问

• 供电站每天至少需向该地区供应多少度电？
• (附： $\Phi (2.33)=0.99$)

解答步骤与解释：

1. 单户用电量分布： 设 $X_i$ 为第 $i$ 户居民的日用电量，$X_i\sim U[0,20]$。
   • 期望 $E(X_i)=\frac{0+20}{2}=10$ 度。
   • 方差 $Var(X_i)=\frac{(20-0{)}^2}{12}=\frac{400}{12}=\frac{100}{3}$ (度${}^2$)。
2. 总用电量： 设 $S_N={\sum }_{i=1}^N{X}_i$ 为 $N=1200$ 户居民的总日用电量。
   • 期望 $E(S_N)=N\cdot E(X_i)=1200\cdot 10=12000$ 度。
   • 方差 $Var(S_N)=N\cdot Var(X_i)$ (因为各户独立) $=1200\cdot \frac{100}{3}=400\cdot 100=40000$ (度${}^2$)。
   • 标准差 ${\sigma }_{S_N}=\sqrt{Var(S_N)}=\sqrt{40000}=200$ 度。
3. 应用中心极限定理 (CLT)： 由于 $N=1200$ 较大，根据中心极限定理，$S_N$ 近似服从正态分布 $N(E(S_N),Var(S_N))$，即 $S_N\approx N(12000,40000)$。
4. 求解供电量： 设供电站每天至少需向该地区供应 $K$ 度电。我们需要满足 $P(S_N\le K)=0.99$。 标准化 $S_N$： $P\left(\frac{S_N-E(S_N)}{{\sigma }_{S_N}}\le \frac{K-12000}{200}\right)=0.99$ 令 $Z=\frac{S_N-12000}{200}$，则 $Z\sim N(0,1)$。 $P\left(Z\le \frac{K-12000}{200}\right)=0.99$ 设 $z_{0.99}$ 是标准正态分布的0.99分位数，即 $\Phi (z_{0.99})=0.99$。通常 $z_{0.99}\approx 2.326$。 所以，$\frac{K-12000}{200}=z_{0.99}$。 $\frac{K-12000}{200}=2.326$ $K=12000+200\cdot 2.326$ $K=12000+465.2=12465.2$ 度。

答案： 供电站每天至少需向该地区供应 $12465.2$ 度电，才能以0.99的概率满足需求（假设 $\Phi (2.326)=0.99$）。

---