六、（10分）

六、（10分）

已知随机变量 $X,Y$ 相互独立, 且

• $X$ 的概率分布为: $P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2}$。
• $Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布 $(\lambda >0)$,
• $Z=XY$.

问

1. 求 $Cov(X,Z)$;
2. 求 $Z$ 的分布律.

解答步骤与解释：

(1) 求 $Cov(X,Z)$：

1. $Cov(X,Z)$ 的定义： $Cov(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(Z)$。
2. 计算 $E(X)$： $E(X)=(1)\cdot P(X=1)+(-1)\cdot P(X=-1)=1\cdot \frac{1}{2}+(-1)\cdot \frac{1}{2}=0$。
3. 由于 $E(X)=0$, $Cov(X,Z)=E(XZ)$。
4. 计算 $E(XZ)$： $E(XZ)=E(X\cdot XY)=E(X^{2}Y)$。
5. 计算 $E(X^2)$： $E(X^2)=(1{)}^2\cdot P(X=1)+(-1{)}^2\cdot P(X=-1)=1\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{2}=1$。
6. 计算 $E(Y)$： $Y\sim Poisson(\lambda )$, 所以 $E(Y)=\lambda$。
7. 由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $X^2$ 和 $Y$ 也相互独立。 所以 $E(X^{2}Y)=E(X^2)E(Y)=1\cdot \lambda =\lambda$。
8. 因此，$Cov(X,Z)=\lambda$。

(2) 求 $Z$ 的分布律：

1. $Z=XY$。$X$ 的取值为 $\{-1,1\}$，$Y$ 的取值为 $\{0,1,2,\dots \}$。 因此 $Z$ 的取值可以为 $\{0,\pm 1,\pm 2,\dots \}$。
2. $P(Z=0)$： $Z=0⟺XY=0$。因为 $P(X=0)=0$, 所以 $XY=0⟺Y=0$。 $P(Z=0)=P(Y=0)$。 对于泊松分布 $P(Y=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$。 $P(Z=0)=P(Y=0)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^0}{0!}=e^{-\lambda }$。
3. $P(Z=k)$ for $k\in \{1,2,3,\dots \}$ (即 $k>0$)： $Z=k⟺XY=k$.
   • 如果 $X=1$, 则 $Y=k$.
   • 如果 $X=-1$, 则 $Y=-k$. 但 $Y$ 不能为负，所以此情况概率为0。 $P(Z=k)=P(X=1,Y=k)$。由于 $X,Y$ 独立, $P(Z=k)=P(X=1)P(Y=k)=\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$。
4. $P(Z=k)$ for $k\in \{-1,-2,-3,\dots \}$ (即 $k<0$)： 令 $k=-j$ where $j\in \{1,2,3,\dots \}$. $Z=-j⟺XY=-j$.
   • 如果 $X=1$, 则 $Y=-j$. 但 $Y$ 不能为负，所以此情况概率为0。
   • 如果 $X=-1$, 则 $Y=j$. $P(Z=-j)=P(X=-1,Y=j)$。由于 $X,Y$ 独立, $P(Z=-j)=P(X=-1)P(Y=j)=\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{-\lambda }{\lambda }^j}{j!}$。
5. $Z$ 的分布律总结： $P(Z=k)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-\lambda }& \text{if }k=0\\ \frac{1}{2}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}& \text{if }k\in \{1,2,3,\dots \}\\ \frac{1}{2}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{-k}}{(-k)!}& \text{if }k\in \{-1,-2,-3,\dots \}\end{array}$ 或者可以写作： $P(Z=0)=e^{-\lambda }$ $P(Z=k)=\frac{1}{2}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{|k|}}{|k|!}$ for $k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$.

答案：

• (1) $Cov(X,Z)=\lambda$。
• (2) $Z$ 的分布律为： $P(Z=0)=e^{-\lambda }$ $P(Z=k)=\frac{1}{2}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{|k|}}{|k|!}$, 对于 $k=\pm 1,\pm 2,\dots$

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