四、（10分）

四、（10分）

某次考试学生的考试成绩 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$, 其中

• $\mu ,{\sigma }^2$ 均未知。

现从中随意抽取容量为25的一个样本, 测得

• 样本均值 $\bar{x}=66.5$,
• 样本修正方差 ${S^{\ast }}^2=100$。

问

1. 求总体方差 ${\sigma }^2$ 的置信度为 0.90 的置信区间;

• (注：(1)小题结果就用分位数表示)

2. 在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，检验是否可以认为这次考试的平均成绩为70分。

• (附：$t_{0.95}(24)=1.7109$, $t_{0.95}(25)=1.7081$, $t_{0.975}(24)=2.0639$, $t_{0.975}(25)=2.0595$)

解答步骤与解释：

1. 求总体方差 ${\sigma }^2$ 的置信度为 0.90 的置信区间：

   • 已知条件：

     • 样本容量 $n=25$
     • 样本均值 $\bar{x}=66.5$
     • 样本方差 $s^2=100$
     • 置信度 $1-\alpha =0.90⟹\alpha =0.10⟹\alpha /2=0.05$
     • 自由度 $df=n-1=25-1=24$

   • 置信区间公式： ${\sigma }^2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为： $\left(\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2,n-1}^2},\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2,n-1}^2}\right)$ 其中 ${\chi }_{\alpha /2,n-1}^2$ 是卡方分布的上 $\alpha /2$ 分位数（即尾部面积为 $\alpha /2$ 的临界值），${\chi }_{1-\alpha /2,n-1}^2$ 是卡方分布的下 $\alpha /2$ 分位数（即尾部面积为 $1-\alpha /2$ 的临界值）。

   • 代入数值（用分位数表示）： 置信区间为： $\left(\frac{24\cdot 100}{{\chi }_{0.05,24}^2},\frac{24\cdot 100}{{\chi }_{0.95,24}^2}\right)=\left(\frac{2400}{{\chi }_{0.05,24}^2},\frac{2400}{{\chi }_{0.95,24}^2}\right)$ (注：${\chi }_{0.05,24}^2$ 和 ${\chi }_{0.95,24}^2$ 的具体数值未在题目附注中给出，按要求用分位数表示。)

2. 在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，检验是否可以认为这次考试的平均成绩为70分：

   • 建立假设：

     • 原假设 $H_0:\mu =70$
     • 备择假设 $H_1:\mu \ne 70$ (双边检验)

   • 检验统计量： 由于总体方差 ${\sigma }^2$ 未知，样本容量 $n=25$，使用 $t$ 统计量： $t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$ 其中 $\bar{x}=66.5$, ${\mu }_0=70$, $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{100}=10$, $n=25$。

   • 计算检验统计量的值： $t_{obs}=\frac{66.5-70}{10/\sqrt{25}}=\frac{-3.5}{10/5}=\frac{-3.5}{2}=-1.75$

   • 显著性水平和临界值：

     • 显著性水平 $\alpha =0.05$。
     • 自由度 $df=n-1=24$。
     • 对于双边检验，临界值为 $\pm t_{\alpha /2,n-1}=\pm t_{0.025,24}$。
     • 从附注可知，$t_{0.975}(24)=2.0639$。这意味着 $P(T_{24}<2.0639)=0.975$，因此 $P(T_{24}>2.0639)=1-0.975=0.025$。
     • 所以，上侧临界值为 $t_{0.025,24}=2.0639$。拒绝域为 $|t_{obs}|>2.0639$。

   • 决策： 比较观测到的检验统计量的绝对值与临界值： $|t_{obs}|=|-1.75|=1.75$。 因为 $1.75\le 2.0639$，所以观测到的检验统计量的值没有落在拒绝域内。

   • 结论： 不拒绝原假设 $H_0$。在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，没有足够的证据认为这次考试的平均成绩不是70分。