第九章 病痛缠身的短命天才

第九章 病痛缠身的短命天才

现在让我们再回到 16 世纪。 卡当诺活跃的年代， 正是沙龙在意大利开始风行的时代。

我们这里讲的沙龙可不是做头发的那种。 16 世纪之前的意大利， 不少学者和艺术家与王公们保持着密切的联系。 他们当中的佼佼者被请到王宫里， 把新知识和看法介绍给高官贵胄。 一些知名学者干脆住在王爷府内， 以便王爷们随时请他们过来谈天论地。 谈论的范围十分广泛， 从艺术到新科学发现， 从宗教到哲学， 有时也会针砭时事。 著名艺术家们也会住在府内作画雕塑， 谱曲弹琴。 我们只要看看达·芬奇就行了。 刚刚从师傅委罗基奥 (Andrea del Verrocchio， 1435-1488) 那里出道不久， 26岁的达·芬奇就接受了美第奇家族的邀请， 住进佛罗伦萨豪华的庄园。 美第奇是 15 世纪至 18 世纪中期在欧洲拥有强大势力的名门望族。 30 岁的时候， 达·芬奇又被米兰公爵斯福尔扎(Ludovico Maria Sforza， 1452-1508)聘请到米兰， 并在那里招学徒开设工作室。 达·芬奇一生的最后三年住在法国的昂布瓦斯 (Amboise)， 他受到法国国王弗朗索瓦一世的邀请， 并得到了一座城堡作为居所， 就是有名的克洛·吕斯城堡 (Château du Clos Lucé)。

位于意大利中部的佛罗伦萨是中世纪末期所谓文艺复兴运动的发祥地。 到了 15 世纪末期， 文艺复兴运动已经遍及整个欧洲， 学者文人们要求人格独立， 不再满足于仅仅利用著作和艺术来表达自己独立的观点， 并开始对王公贵胄的小圈子嗤之以鼻。 于是沙龙文化应运而生， 而最早出现的沙龙还是在意大利。 “沙龙” 这个词来源于意大利语的 “萨拉” (Sala)， 是指大庄园里招待客人的大厅。 这个词变成 “萨罗内” (Salone)， 专指谈天说地、针砭时政的沙龙。 最初的沙龙是女眷们碰头会面聊天的地方， 通常是闺房和卧室。 后来有教养的女士们开始邀请绅士学者艺术家来参加讨论， 地点就变为客厅。 进入法国后， “萨罗内”变成了法语的沙龙(Salon)(如图9.1)。

随着启蒙时代 (Age of Enlightenment) 的来临， 沙龙传遍欧洲各国， 其中以法国最为流行。 这时沙龙的规模已经变得很大， 有点聚会的意思了， 而且常常是专题讨论， 题目当然是五花八门。

图9.1 18 世纪 巴黎著名的乔福兰夫人 (Madame Geoffrin， 1699-1777) 的沙龙。 当时外国宾客到巴黎， 都以能有幸访她举办的沙龙为荣。

话说在巴黎市中心塞纳河北岸的马莱区 (Le Marais)， 有一座古老的广场叫做孚日广场 (Place des Vosges)， 这是亨利四世 (法语: Henri IV， 1553-1610) 下令建造的， 一共花了 7 年的时间 (1605-1612)， 当时叫做皇家广场 (Place Royale)。 广场的四周被正方形的豪华公寓包围着， 四个边长都是 140 米， 中间是花园。 这是亨利四世建设巴黎的宏伟计划的一部分。 在那7年的时间里， 他还监督建造了卢浮宫、西提岛(Île de la Cité)上的太子广场 (Place Dauphine)， 以及通往西提岛的新桥。 可是， 亨利四世没能看到皇家广场的竣工。 1610 年， 他被一个狂热的天主教徒刺杀身亡。 皇家广场建成的那一年， 继承亨利四世王位、年仅 11 岁的路易十三 (Louis XIII， 1601-1643) 与和他同岁的奥地利的安娜(Anne of Austria， 1601-1666)在这里举行定婚礼。 为了庆祝这两个孩童的盛典， 广场中心还安装了一座巨大的旋转木马。

这位安娜是西班牙哈布斯堡(Habsburg)王朝国王腓力三世(Felipe III， 1578- 1621)的女儿。 哈布斯堡王朝是欧洲历史上最为显赫、统治地域最广的王室之一。 从鲁道夫·冯·哈布斯堡(Rudolf von Habsburg， 1218-1291)登上神圣罗马帝国的王位起， 哈布斯堡王朝崭露头角并逐渐强大。 在其最为显赫的时期， 它的君主、神圣罗马帝国皇帝查理五世 (英语:Charles V；德语:Karl V， 1500-1558)一人身兼数不清的头衔， 其中包括西班牙国王卡洛斯一世、罗马人民的国王卡尔五世、奥地利大公卡尔一世、卡斯蒂利亚-莱昂 (Castile and León) 国王卡洛斯一世、西西里国王卡洛二世、那不勒斯国王卡洛四世、低地国家(荷兰、比利时、卢森堡以及今天的法国北部) 至高无上的君主， 等等。 他一手创建了西班牙 “日不落帝国”， 国土从欧洲扩展到美洲。 16世纪中叶查理五世退位以后， 哈布斯堡家族分为奥地利与西班牙两个分支， 前者占据神圣罗马帝国的帝位， 称奥地利哈布斯堡皇朝， 后者则为西班牙国王， 统治西班牙、西属尼德兰 (今天的比利时、卢森堡， 以及法国和德国的北部)、意大利南部的那不勒斯王国、撒丁王国 (Kingdom of Sardinia) 以及美洲新世界的广袤领土， 称西班牙哈布斯堡王朝。 但由于多代近支联姻， 在累代基因缺陷的影响下， 王位继承人不断出现身心健康问题。 西班牙和奥地利分支分别在 1700 年和 1740 年相继断绝男嗣。

法国是哈布斯堡王朝的宿敌。 在哈布斯堡家族日渐衰落的时候， 年轻的路易十三在枢密院主任大臣、著名的 “红衣大主教” 黎塞留 (Cardinal Richelieu， 1585-1642) 的协助下把法国变成了一个君主专制国家， 并开始向美洲、非洲和亚洲扩张。 路易十三和黎塞留为艺术家们提供了很多素材， 产生了不少有名的故事， 包括《三个火枪手》和 《铁面人》。 有人说， 这个神秘的铁面人是路易十三的私生子， 也有人说他是路易十三的儿子路易十四的孪生兄弟。

1619 年， 一位名叫马兰·梅森 (Marin Mersenne， 1588-1648) 的米尼玛派 (Minim) 天主教教士住进了皇家广场的一栋公寓。 作为天主教教士， 梅森一直对自然科学和数学表现出极大的兴趣。 巴黎的知识阶层对他自然有很大的吸引力， 不过在巴黎的最初几年， 他的主要精力似乎是在研究《圣经》上面。 从 1623 年到 1625 年， 梅森连续发表了三部上千页的鸿篇巨著， 详细分析《圣经·创世纪》中前六章的内容， 不过经常跑题进入科学和哲学的领域， 同时对无神论和其他宗教教派进行激烈的批判和攻击。 他的这些创作活动很可能受到天主教会的资助， 不然的话， 他怎么能支付得起豪华公寓的费用呢? 他的观点也颇有意思。 他把自然界的事物分成两部分， 一部分只有上帝知道， 另一部分是人可以通过观测知道。 他不同意世界全然不可知的观点， 赞成人类的知识可通过实验和观测自由地发展。 从 1626 年起， 他把注意力完全集中在数学和科学上， 态度也逐渐趋于平和， 这大概跟他与巴黎知识精英阶层的交往日益频繁和深入有关。 梅森变成了伽利略 (Galileo Galilei， 1564-1642) 和笛卡尔 (René Descartes， 1596-1650) 的 坚定支持者。

几年以后 (1636年)， 梅森成立了巴黎科学院(Académie Parisienne)。 这实际上是一个沙龙。 梅森显示出超人的组织能力， 他从来不怕争论， 相反， 他鼓励争论， 因为他认为争论是辨明真理的最有效的方式。 他不断地给加入沙龙的人们提供学术上的挑战， 把沙龙办得生气勃勃。 在最兴旺的时候， 有 140 多名领衔的数学家和科学家经常在这里交流研究心得。 这些人里， 包括业余数学爱好者艾蒂安・帕斯卡(Étienne Pascal， 1588-1651)， 皮埃尔·费马 (Pierre de Fermat， 1601-1665)， 米多日 (Claude Mydorge， 1585-1647) 和专业数学家罗贝瓦尔 (Gile de Roberval， 1602- 1675)。 这个私人组织后来演变成为官方的法国科学院。

1639 年的一天， 梅森收到一份手稿。 手稿讨论的是一个几何光学问题， 这在当时是许多数学家都感兴趣的。 这篇手稿指出， 在任意一条圆锥曲线 (圆、椭圆、抛物线、双曲线等等)之内作一个任意的内接六边形， 那么该六边形

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故事外的故事

梅森对音乐理论做过深入的研究。 通过对音符的分析， 他讨论了排列组合中四种基本运算中的三种:无重复的排列， 有重复的排列， 无重复的组合。 下图是梅森列出的四个音符的 24 种排列。

梅森在他的著作中印出一系列音符排列数目的表格， 最多达到 64 个音符， 也就是 64 ! 种排列。 这是一个 90 位的大数， 是当时最大的排列数字。 不过他的表格里有不少错误。 千花了大少要素饮， 特别的半天问题:

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上海市石油加工有限公司图9.2 布莱斯·帕斯卡肖像。 作者:弗朗索瓦二世·凯内尔(François II Quesnel， 1637- 1699)。

的三条对边的延长线的交点共线。 这是射影几何中的一个重要定理。 我们在代数、几何的讨论中知道， 这些圆锥曲线都具有某种聚焦的光学性质。 梅森看不大懂手稿， 但作者的名字引起了他的注意: 布莱斯·帕斯卡 (Blaise Pascal， 1623-1662)(图 9.2)。 这不是艾蒂安·帕斯卡的儿子吗？艾蒂安经常带他到沙龙来， 可是， 他才多大呀? 也就十五六岁吧？梅森把手稿拿给好朋友笛卡尔看， 笛卡尔看了以后大吃一惊。 沉思许久之后， 笛卡尔说:“这手稿不可能是布莱斯写的， 一定是他爸爸搞的鬼! ” 艾蒂安 · 帕斯卡确定这是儿子的独立作品以后， 笛卡尔仍然不能相信。 他说: “当爸爸的把这个问题给了儿子， 他能解出来， 这也不奇怪。 但我不相信一个 16 岁的孩子能独自想出这类问题来。 ”

艾蒂安出身于一个所谓 “长袍贵族” 的家庭， 他的父亲曾经是法国国库的司库。 这类家族不同于公爵、伯爵之类的血缘贵族， 他们是依靠在法律或政治上对国家的贡献而晋升的。 类似于长袍贵族还有刀剑贵族， 那是靠打仗赢得的。 这类贵族可以继承前辈的政府职位， 生活自然也相当富裕。 艾蒂安在巴黎得到律师资格之后， 回到老家克莱蒙 (Clermont)， 买了一个参赞的官衔， 负责奥佛涅 (Auvergne) 地区的税务事务。 布莱斯 3 岁的时候， 艾蒂安失去了妻子。 布莱斯具有超常的智力， 但总是病病殃殃， 于是父亲艾蒂安决定自己培养这个孩子。 当时的法国， 长袍贵族的官职是可以出卖的。 艾蒂安卖掉了克莱蒙法庭助理主席的位子， 把得到的一大笔钱全部购买了国债券， 依靠国债券的收入过着相对舒适的生活。 他自己对数学非常感兴趣， 便举家搬到巴黎， 一边做研究， 一边照顾教育儿子， 日子过得津津有味。 可是， 始于 1517 年的马丁・路德宗教改革运动使欧洲分裂为天主教和新教两大阵营， 形同水火， 互不相容。 1618 年， 双方展开全面的战争， 为时 30 年， 史称三十年战争， 给欧洲带来重大的灾难。 1635 年， 法国站到了新教阵营一边， 公开向西班牙宣战。 而法国的经济状况越来越糟， 赤字猛增， 以致于 1638 年黎塞留大主教宣布增税同时将国债违约。

艾蒂安的收入一下子缩水 90%， 这给帕斯卡家庭带来重大灾难。 艾蒂安因公开站出来反对黎塞留的经济政策而受到威胁， 只身逃出巴黎， 把布莱斯和他的姐姐妹妹托付给邻居。 同年， 法国的农民、贫穷市民和下层神父在各处造反， 自称“赤脚人” (法语:Va-Nu-Pieds)。 在诺曼底 (Normandie)， 赤脚人控制了整个地区， 他们焚毁富人府邸， 废除税收， 甚至处决了收税官。 暴乱过去以后， 艾蒂安被派往诺曼底的首府鲁昂 (Rouen) 担任税务官， 收拾烂摊子， 他的三个孩子不久也就去了鲁昂。 艾蒂安整天被淹没在无穷无尽的账目里， 不断地加减乘除， 他恨死了这个职位。 当时不到 19 岁的布莱斯看到父亲的辛劳， 便动起脑筋来， 不久， 他设计制造出历史上第一部机械计算机。

从 20 岁起到 30 岁， 布莱斯·帕斯卡的主要目标是科学。 他证明了真空的存在， 并设计了测量大气气压的实验， 可是自己身体太差， 无法实行。 后来他说服了姐夫， 按照自己的指导在克莱蒙城里和附近的山顶上测量了大气的压强随海拔高度的变化， 证明地球的大气层是有重量的， 而且厚度是有限的。 从此布莱斯的名字成为压强的国际制单位(Pascal)。

在布莱斯·帕斯卡 31 岁的时候 (1654 年)， 梅森沙龙的一位朋友带着两个问题来寻求帮助。 龚伯(Antoine Gombaud， 1607-1684)自号 “梅耶的骑士”(Chevalier de Méré) 是一位作家， 写作之余， 他也研习数学。 不过对他来说， 搞懂骰子的数学问题跟利用骰子赢钱具有同等重要性。 他分析了投骰子的数学问题， 设计了自己的游戏， 可总是输多赢少， 于是他同时求教于布莱斯和费马。

第一个问题与赌博直接相关。 在一种 17 世纪法国的赌博游戏里， 每人丢四次骰子， 如果得到一个 1 点， 那么就算赢了。 梅耶的骑士想出另一种赌法:同时丢两个骰子， 得到两个 1 点 (双 1 ) 的算赢。 他是这么盘算的: 既然每个骰子出现一个 1 的概率是 $1/6$， 那么两个骰子连续丢两次， 出现双 1 的概率也是 $1/6$， 因为把两个骰子丢六次， 每个骰子都有一次机会得到 1 点。 而四六二十四， 那么， 把两个骰子丢 24 次， 就应该肯定可以得到双 1 了。 可是， 在这种游戏中他总是输。 为什么?

梅耶的骑士的第二个问题要复杂多了。 政客、贵族等要人玩赌博游戏的时候， 经常被重要事情所打断。 赌戏中断， 赌注很大， 不能丢下了事。 梅耶的骑士问， 如果两个赌客在一场赌博中半途中断， 两个人放在一起的赌注应该怎么分呢?

这个问题其实由来已久。 塔塔利亚和卡当诺都曾经试图解决， 但都失败了。

布莱斯比费马小 22 岁， 但两个人是忘年交。 他们俩一个住在克莱蒙， 另一个住在图卢兹 (Toulouse)， 相距很远。 不能参加沙龙聚会的时候， 两个人就靠书信来往， 他们的书信后来构成了概率论发展的重要基础。 费马对布莱斯的评价极高， 在一封给朋友的信里， 费马是这么评价布莱斯的:

“我非常高兴自己能够和帕斯卡先生有相同的想法。 我对他的天才极为欣赏， 相信他能解决任何数学问题。 他的友谊对我来说既亲切又珍贵……”

尽管只能在业余时间研究数学， 费马是当时最有名的数学家。 他经常把自己的发现寄给同好， 但不提供证明。 后人发现， 他的结果有些可以证明， 有些无法证明。 费马的很多猜想让后人费尽了脑汁。

1654 年 7 月 28 日， 布莱斯收到费马的来信， 其中包含了他对这两个问题的解答。

对第一个问题， 费马的分析大致是这样的: 每个骰子有六个面， 投四次一共有 $6^4$ 种可能的结果。 每投一次的 6 种可能性当中， 有 5 种肯定不是 1 点， 那么所有的没有 1 点的可能性是 ${\left(6-1\right)}^4=5^4$。 因此得到至少一个 1 点的概率是 $\frac{6^4-5^4}{6^4}=\frac{671}{1296}\approx 0.5177$。 这个概率大于不赢不输的概率 0.5， 所以在丢很多次骰子以后， 应该是赢钱的。

改成使用两个骰子以后， 每次同时投出两个骰子， 一共有 $6^2=36$ 种可能， 其中只有一个是双 1。 类似于前面的分析， 连投 24 次， 一共有 ${36}^{24}$ 种可能， 其中 ${35}^{24}$ 种不含有双 1。 所以， 得到双 1 的概率就是 $\frac{{36}^{24}-{35}^{24}}{{36}^{24}}\approx 0.4914$。 这个概率小于 0.5， 所以， 梅耶的骑士当然是输多赢少。

对于梅耶的骑士的第二个问题， 费马的思路是把赌博停止后可能发生的所有情况用排列组合分析都列出来， 然后按照每个情况的后果来决定赌注的分配。 比如， 甲和乙一开始放入相等的赌注， 他们赌看谁首先赢得三个点。 在甲赢了一个点、乙赢了两个点的时候， 他们必须中止这个游戏。 那么他们的赌注应该怎么分? 显然， 乙应该得到比甲要多的赌注。 可是， 多多少呢?

如果还有两投就可以结束这场赌博， 那么就有 4 种可能性:

1. 乙赢得这两投。

2. 乙赢得第一投， 甲赢得第二投。

3. 甲赢得第一投， 乙赢得第二投。

4. 甲赢得这两投。

在前 3 种情况下， 乙是最终获胜者。 对于第 1 和第 2 种情况， 甲已经没有必要再投了。 只有第 4 种情况甲可以赢。 也就是说， 乙有 3/4 获胜的概率， 而甲只有 1/4。 如果游戏的规则是赢者把赌注全拿走， 那么两人赌注的公平的分配应该就按照他们获胜的概率， 乙得到 $3/4$ 的赌注， 甲得到 $1/4$ 的赌注。

把上面的分析思路扩展到一般情况， 如果乙方和甲方分别需要投 $r$ 次和 $s$ 次最终获胜， 那么两个人最多一共还需要投 $r+s-1$ 次肯定就可以结束这场赌博了。 两个人投骰子， 一共有 $2^{r+s-1}$ 种可能的结果。 当然在很多情况下， 赌博可能不到 $r+s-1$ 次就结束了， 但是在分析时需要把所有可能性都考虑进去， 而且每种可能性都具有同样的发生概率。 费马说， 把 $2^{r+s-1}$ 种可能的结果列成表格， 计算出两个对手获胜概率的比例， 就可以按比例分配赌注了。

布莱斯·帕斯卡同意费马的结论。 上面的例子中， 只要这个游戏是公正的， 甲和乙赢得下一投的可能性应该是相等的。 如果乙赢得下一投， 他就赢了整个赌局， 也得到所有的赌注。 所以， 在中断的地方乙应该得到一半的赌注。 但如果甲赢得了下一投， 他和乙就平了， 他可以和乙平分赌注。 所以， 乙应该得到 $3/4$ 的赌注。 然而布莱斯不满足于费马的分析方法。 那个方法， 当 $r+s-1$ 很大的时候， 列表计算在当时几乎是不可能的。 他发现， 采用递归原理， 可以把分析延展到还有三投、四投以至无限投的情况。

于是在 1654 年 7 月 29 日， 也就是收到费马来信的第二天， 布莱斯给费马写了一封很长的信。 他在信的开头说:

“您的方法是正确的， 也是我最先想到的解决问题的途径， 但寻找所有不同结果组合的工作量太大了。 我找到了一个捷径， 一个不同的方法。 这个方法简洁明了， 请让我简明地描述给您。 ”

布莱斯的思路大致是这样的:

让我们假定在赌局中止的时候， 乙方得到的点数至少跟甲方一样多。 对 $r+s-1=1$， 显然乙方和甲方在赌局中止的地方两人都只需要一投便可得胜， 那么他们两人应该得到的赌注是一样的。 对 $r+s-1=2$， 甲方需要比乙方多投一次才能得胜。 按照前面的分析， 我们考虑两人各投两次的 $2^2=4$ 种可能性:

1. 乙赢得这两投; 记作乙 ${}^2$。

2. 乙赢得第一投， 甲赢得第二投; 记作乙 $\times$ 甲。

3. 甲赢得第一投， 乙赢得第二投; 记作甲 $\times 乙$。

4. 甲赢得这两投; 记作甲 ${}^2$。

其中第 2 、第 3 种可能性， 不论哪一种先出现， 结果是一样的， 所以总的结果可以表示为: $Z^2+2\times Z\times 甲+{甲}^2$。 在这 4 种情况里， 乙获胜的机会占了 3 个。

现在再看 $r+s-1=3$ 的问题， 这时甲和乙各需再投三次， 所有的 $2^3=8$ 种可能性如下:

1. 乙赢得三投; 记作乙 ${}^3$。

2. 乙赢得前两投， 甲赢得第三投; 记作乙 ${}^2\times$ 甲。

3. 乙赢得第一投， 甲赢得第二投， 乙赢得第三投; 记作乙 $\times$ 甲 $\times$ 乙。

4. 甲赢得第一投， 乙赢得第二第三投; 记作甲 $\times {乙}^2$。

5. 乙赢得第一投， 甲赢得第二第三投; 记作乙 $\times {\text{甲}}^2$。

6. 甲赢得前两投， 乙赢得第三投; 记作 ${甲}^2\times 乙$。

7. 甲赢得第一投， 乙赢得第二投， 甲赢得第三投; 记作甲 $\times 乙\times 甲$。

8. 甲赢得三投; 记作甲 ${}^3$。

在这 8 种可能性当中， 第2、3、4种是等价的， 第5、6、7种也是等价的。 所有的可能性可以放在一起， 表达成: $Z^3+3\times Z^2\times$ 甲 $+3\times Z\times {\text{ 甲 }}^2+{\text{ 甲 }}^3$。 如果中止的时候， 甲乙得分相同， 那么， 甲和乙各有 4 种获胜的可能性。 他们需要平分赌注。 可是如果中止的时候乙已经领先甲两投了， 那么， 乙应该得到 $1+3+3=7$ 份赌注， 而甲只能得到 1 份。 换句话说， 乙应该得到 $7/8$， 甲得到 $1/8$。

这样的分析可以一直继续下去， 于是布莱斯得到一张著名的图 (图 9.3)。 在这张图里， 左边的纵列和上面的横排的编号都是从 1 到 10， 对应的是甲方和乙方在赌局中断时还需要投掷骰子的次数。 左边第二纵列都是 1， 上面第二横排也都是 1。 用斜线把纵列与横排相同编号的格子连接起来， 这个三角形看着是不是有点眼熟?

图9.3 帕斯卡手稿中的三角形。

对了！这正是宾伽罗的“山形图”和贾宪三角形， 只不过三角形转了45°而已。 布莱斯第一次明确地指出， 对于任何只有正、反两个结局 (比如赢或输) 的问题， 如果赢的理论概率值是 $p$， 那么输的概率就是 $1-p$。 在 $n$ 次相互之间毫无关联的重复过程中， 就会出现 $2^n$ 种可能的结果， 其中

赢得 $n$ 次的概率是 $p^n$ ;

赢得 $n-1$ 次的概率是 $\left(\begin{array}{l}1\\ n\end{array}\right)p^{n-1}\left(1-p\right)$ ;

赢得 $n-2$ 次的概率是 $\left(\begin{array}{l}2\\ n\end{array}\right)p^{n-2}{\left(1-p\right)}^2$ ;

…

赢得 $n-k$ 次的概率是 $\left(\begin{array}{l}k\\ n\end{array}\right)p^{n-k}{\left(1-p\right)}^k$ ;

…

赢得 2 次的概率是 $\left(\begin{array}{c}n-2\\ n\end{array}\right)p^2{\left(1-p\right)}^{n-2}$ ;

赢得 1 次的概率是 $\left(\begin{array}{c}n-1\\ n\end{array}\right)p^1{\left(1-p\right)}^{n-1}$ ;

赢得 0 次的概率是 ${\left(1-p\right)}^n$。

因为 $\left(\begin{array}{l}n\\ n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0\\ n\end{array}\right)=1，p^0={\left(1-p\right)}^0=1$， 上面列出的所有表达式可以用一个统一的式子来表达， 就是

$$\left(\begin{array}{l}k\\ n\end{array}\right)p^{n-k}{\left(1-p\right)}^k.\text{\hspace{1em}(9.1)}$$

这是在 $n$ 次游戏中获得 $k$ 次胜利的概率， 其中 $k=0，1，2，\cdots ，n$。 对于概率 “对称” 的游戏， 也就是胜负概率相等的游戏来说， $p=1-p=1/2$， 表达式 (9.1) 就简单地变成了 $\left(\begin{array}{l}k\\ n\end{array}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^n$。

到了这里， 读者不妨自己证实一下: 如果甲方和乙方在赌局中止时还需要各投 5 次才能决出胜负， 而且乙还需两投即可赢得整个游戏， 而甲还需四投， 那么在分赌注的时候， 乙应该得到 $1+5+10+10$ 份， 甲得到 $5+1$ 份; 也就是说， 乙分得的赌注应该占总赌注的 13/16， 而甲占 3/16。 提示: 甲方赢就意味着乙方输， 所以整个问题只需要考虑乙方 (或者甲方)。 另外， 这个问题对应 $r+s-1=5$。 如果 $r=s=3$， 那么在赌局中止时， 甲和乙可能拥有相同的点数， 在那种情况下二人就平分赌注。 我们这里感兴趣的是 $r=4$， $s=2$ 的情况。

布莱斯和费马的信件没能完全保留下来。 不过有理由相信， 布莱斯首先给费马写信， 提出梅耶的骑士的赌客问题。 布莱斯能够在接到费马来信的第二天就长篇大论地在回信里讨论如此复杂的问题说明， 他对这个问题已经思考很久了。

32岁的时候 (1655年)， 布莱斯完成了《算法三角形的性征》(Traits of the Arithmetical Triangle)。 这个三角形虽然就是我们在前面提到的 “山形图” 和贾宪三角形， 但帕斯卡第一次全面系统地分析了这个三角形的十几种特征， 并明确指出它同 $n$ 阶二项式和重复 $n$ 次具有两种结果的随机事件发生规律之间的关系。 这是古典概率的理论基础。 所以在欧洲， 这个三角形被称为帕斯卡三角形。

布莱斯从小接受父亲的教育， 从未接受过学校的系统教育， 但他处理数学问题的方式却是划时代的， 对数学发展的影响十分重要。 他从小就身体羸弱， 病不离身。 他姐姐说， 布莱斯从 18 岁以后没有一天没有病痛， 后来连固体食物都不能下咽， 只能靠别人喂流食， 生活完全依赖于父亲、姐姐和妹妹。 1651年， 他的父亲去世了， 姐姐早已嫁人， 照顾布莱斯的重任就落在妹妹杰奎琳(Jacqueline)瘦弱的肩膀上。 1653年夏天， 杰奎琳决定进入修道院当修女， 布莱斯突然发现自己形只影单， 无法生活。 肉体的痛苦让他无法再进行数学和科学上的研究， 他勉强支撑着， 完成了《算法三角形的性征》。 但这本著作直到 1665 年才付诸于世。

1656 年， 帕斯卡给费马提出了自己的最后一个数学挑战。 问题是这样的:

甲乙两位赌客同时投三枚骰子， 甲投出 11 点可得 1 分， 乙投出 14 点可得 1 分。 只有在对手没有投出他的得分点数， 而自己投出得分点数时才能增加一分; 而当对手投出他的得分点数时， 自己则要减 1 分。 先得到 12 分者为赢。 两个人获胜的概率各是多少?

布莱斯在信里说， 这个问题非常复杂， 他怀疑费马是否有能力解决。

这确实是一个相当复杂的问题。 首先用三枚 “公正” 的骰子投出 11 点和 14 点的概率不同。 从卡当诺的时代起， 人们就知道， 使用三枚骰子投得 11 点和 14 点的概率不一样。 根据表 6.2， 得到 11 点的概率是 27/216。 读者如果有兴趣可以按照表 6.2 的思路算一下得到 14 点的概率， 它应该是 15/216。 因此， 投出 11 点与 14 点的相对概率是 27 比 15， 也就是 9 比 5。 再往下进行， 计算就很复杂了。 但费马毕竟是费马， 他给布莱斯的回复说， 甲对乙最终获胜的概率应该在 1156 比 1 和 1157 比 1 之间。

布莱斯的计算结果是惊人的， 他说准确地讲， 二人获胜的概率比值应该是 150， 094， 635， 296， 999， 121比 129， 746， 337， 890， 625， 这个比值相当于 1 156.831 381 42… 比1。 这说明两个人的结果相符， 但他们都没有给出任何分析的细节， 这让后来的数学家们伤透了脑筋。 英国统计学者爱德华兹 (A.W.F. Edwards， 1935-) 专门著文揣测布莱斯和费马采用的解决方法， 结论是， 帕斯卡那两个巨大的数字的比值其实很简单。 也就是说， 每一次投骰子， 得到 11 点和 14 点的概率之比是 $27/216$ 比 $15/216$， 亦即 9/5。 显然， 每次投骰子， 甲得到 11 点的概率比乙得到 14 点的概率要大将近一倍。 而在最简单的情况下， 两位赌客各投 12 次骰子 (甲每次都赢， 因为他获胜的概率高)， 游戏便可见分晓。 这对应着两人获胜的概率比为 27/216 比 15/216 的 12 次方。 帕斯卡在计算时削去了两边分母的 216， 却没有把 27 / 15 简化成 9 / 5， 于是得到 ${\left(\frac{27}{15}\right)}^{12}=$ $\frac{150，094，635，296，999，121}{129，746，337，890，625}$， 简化后的解应该是 $\frac{282，429，536，481}{244，140，625}$。 至于具体方法， 爱德华兹猜测， 帕斯卡根据自己的神奇三角逐步计算概率， 然后用他熟悉的数学方法求解一个含有 25 个方程的方程组， 得到最终的结果。 而费马是根据概率的基本概念从逻辑上导出他的结果。 此外， 帕斯卡的方法可以应用到任何类似的概率问题上， 费马的方法则仅限于这个问题本身。

布莱斯·帕斯卡的数学生涯仅有七八年的时间， 宛若昙花， 陡然怒放， 之后迅速凋零， 直至枯萎， 但他短暂的人生给后人留下了无价的遗产。 别的发现暂且不提， 帕斯卡三角形到今天仍然是人们研究的对象。

本章主要参考文献

Edwards， A. W. F. Pascal’s Arithmetical Triangle: The story of a mathematical idea. New York: Dover Publications， Inc.， 2019: 202.

Edwards， A. W. F. Pascal’s Problem: The “Gambler’s Ruin”. International Statistical Review， 1983， 51: 73-79.