第二章 神秘的八卦图
不知道是多久以前了， 一位老人站在山顶， 俯视着山下浑浑噩噩的人群。 那时候， 人们只知有母， 不知有父。 他们居无定所， 生活极其艰难。 捉到一只野兽， 就剥去兽皮， 男女老幼蜂拥而上， 你一口我一口， 吃那鲜红的生肉， 喝那腥热的鲜血。 偶尔打到太多的野兽， 一时吃不完， 也不懂得保存， 任凭猎物烂掉。 他们用兽皮和苇草来遮挡风寒， 衣不遮体， 饥一顿饱一顿， 生老病死全靠运气。
为什么这么痛苦? 人生的意义在哪里? 老人苦苦思索着。 日复一日， 年复一年， 他仰望天空， 环顾四周， 见日月星辰， 升沉有序；花开叶落， 周而复始。 终于有一天， 老人幡然而悟， 根据看到的自然规律画出一幅神秘的图， 用它来界定人们生活的法则。 这套法则使人类走出洪荒时代， 进入有规矩、有道德、有礼节的社会。
这张神秘的图就是八卦图。
这当然只是一个传说。 关于八卦来源的理论五花八门， 其中不少充满迷信荒诞和神秘主义的元素。 但凡是看到八卦图的人， 都会被它的简洁和深奥所吸引。 现在就让我们再仔细地看看它 (图 2.1)。
八卦是由两种线段构成的八组符号， 断开的线段代表 “阴”， 连续的代表 “阳”。 在古代， 每个单独的线段被称为 “爻”。 八组符号都由三只爻构成。 只是由于年代久远， 时代变迁， 要想找到八卦的真正起源恐怕已经不那么容易了。
不管怎么样， 任何试图破解这个神秘图案的企图都必须从了解符
图2.1 伏羲八卦图。 注意图中标记的卦象顺序(一到八)。
史苑撷英
“古之时未有三纲、六纪， 民人但知其母， 不知其父， 能覆前而不能覆后， 卧之誌誌， 起之吁吁， 饥即求食， 饱即弃余， 茹毛饮血而衣皮苇。 于是伏羲仰观象于天， 俯察法于地， 因夫妇正五行， 始定人道， 画八卦以治下。 ”
——(汉)班固:《白虎通义》 号的规律入手。 首先， 我们可以想象， 这种线段构成的符号在使用刻痕作为记录手段的时代是最为方便的。 使用任何其他符号记录都比之更费力、更麻烦。 可是这类符号现在看上去不那么一目了然。 让我们用一个偷懒的办法， 把阴爻和阳爻用阿拉伯数字 0 和 1 来代替。 于是坤卦变成 000， 乾卦成为 111。 我们假设最左边的阿拉伯数字对应的是卦象的最底下那一爻。 现在让我们把坤卦的三个 0 从上到下逐次变成 1， 成为乾。 这一共有多少种变化呢?
表 2.1 八个基本卦象和它们对应的二进制数码编号
从表 2.1 我们看到， 由 0 和 1 构成的三位数组一共只有这八种可能。 有趣的是， 在二进制的数值系统中 (也就是现代计算机所使用的系统中)， 从坤到乾的变化恰恰对应了十进位数值从 0 到 7(也就是二进制的000到111)这八个数字。 不仅如此， 如果你注意到图 2.1 当中每一卦的编号， 就会发现， 利用二进制得到的卦象的顺序和图 2.1 中的正好相反。 当然， 我们完全可以把阳爻看成 0， 阴爻看成是 1。 那样的话， 我们得到的卦象的顺序就跟图 2.1 里给出的从一到八的顺序一模一样了。
这些有趣的特征是德国著名数学家莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646-1716) 最早发现的。 他从 1679 年起开始思考二进制数的问题。 大约在 17 世纪接近尾声的时候， 他的朋友、法国耶稣会传教士白晋 (Joachim Bouvet， 1656- 1730)从中国回到欧洲， 并带来了《易经》。 我们可以想象， 当莱布尼茨看到《易经》中的八卦图时该有多么惊奇。 几年以后 (1703 年)， 他发表了著名的关于二进制数值算法的书， 题目很长， 大致可以翻译成《仅仅使用 1 和 0 的二进制数的算法， 兼论它的用途以及对理解古代中国伏羲八卦的启示》(Explanation of Binary Arithmetic， which uses only the characters 1 and 0， with some remarks on its usefulness， and on the light it throws on the ancient Chinese figures of )。 莱布尼茨坚信， 中国人在几千年前就考虑过二进制了。
我们知道， 在真正使用八卦的时候， 八卦图里的三爻卦象是成对出现的。 爻的顺序是从下到上， 最底下的一爻叫 “初爻”， 然后依次是二爻、三爻等等。 那么从 8 个三爻卦象里面任意取出两个， 构成一个六爻卦象， 能有多少种可能性？
这是最早的排列组合问题之一。 最直接的方法是列表， 把 8 个三爻卦象按照行和列写下来， 然后在表中按照行数和列数出现的卦象组合起来， 如表 2.2 所示。
还有一个更简单的办法。 这个问题实际上是在问:用一只阴爻和一只阳爻来组成六爻卦象， 一共能有多少个不同的排列? 于是就变成了一个二进制的问题: 从 000000 到 111111， 一共有多少个数? 二进制的 111111 相当于十进制的 63， 所以一共有 64 卦。 读者可以按照表 2.3 给出的方式检查这个结果。
表 2.2 以排列组合方式构成的六十四卦图 (红色为上卦， 黑色为下卦)
| A 坤 | B 艮 | C坎 | D 巽 | E震 | F离 | G 兑 | H 乾 | |
| A 坤 | AA 坤 | AB剥 | AC比 | AD 观 | AE豫 | AF 晋 | AG萃 | AH否 |
| B 艮 | BA 谦 | BB 艮 | BC蹇 | BD渐 | BE小过 | BF旅 | BG咸 | BH遁 |
| C坎 | CA师 | CB蒙 | CC坎 | CD涣 | CE解 | CF未济 | CG困 | CH讼 |
| D 巽 | DA升 | DB 蛊 | DC井 | DD 巽 | DE恒 | DF鼎 | DG大过 | DH 姤 |
| E震 | EA复 | EB 颐 | EC屯 | ED 益 | EE震 | EF噬嗑 | EC 随 | EH 无妄 |
| F离 | FA 明夷 | FB贲 | FC既济 | FD家人 | FE丰 | FF离 | FG革 | FH 同人 |
| G 兑 | GA临 | GB损 | GC节 | GD中孚 | GE归妹 | GF睽 | GG 兑 | GH履 |
| H 乾 | HA泰 | HB 大畜 | HC需 | HD小畜 | HE大壮 | HF大有 | HG 夬 | HH 乾 |
表 2.3 朱熹的伏羲六十四卦次序图
 坤(地) |  良(山) |  坎 (水) |  巽(风) |  震(雷) |  离(火) |  兑(泽) |  乾(天) | ←上卦 ↓下卦 |
 |  |  |  |  |  |  |  | W 坤(地) |
| 2. 坤为地 | 23. 山地剝 | 8. 水地比 | 20. 风地观 | 16. 雷地豫 | 35. 火地晋 | 45. 泽地萃 | 12. 天地否 | |
 |  |  |  |  |  |  |  |  良(山) |
| 15. 地山谦 | 52. 良为山 | 39. 水山蹇 | 53. 风山渐 | 62. 雷山小过 | 56. 火山旅 | 31. 泽山咸 | 33. 天山遁 | |
 |  |  |  |  |  |  |  |  坎 (水) |
| 7. 地水师 | 4. 山水蒙 | 29. 坎为水 | 59. 风水涣 | 40. 雷水解 | 64. 火水未济 | 47. 泽水困 | 6. 天水讼 | |
 |  |  |  |  |  |  |  |  巽(风) |
| 46. 地风升 | 18. 山风蛊 | 48. 水风井 | 57. 巽为风 | 32. 雷风恒 | 50. 火风鼎 | 28. 泽风大过 | 44. 天风姤 | |
 |  |  |  |  |  |  |  |  震 (雷) |
| 24. 地雷复 | 27. 山雷颐 | 3. 水雷屯 | 42. 风雷益 | 51. 震为雷 | 21. 火雷噬嗑 | 17. 泽雷随 | 25. 天雷无妄 | |
 |  |  |  |  |  |  |  |  离(火) |
| 36. 地火明夷 | 22. 山火贲 | 63. 水火既济 | 37. 风火家人 | 55. 雷火丰 | 30. 离为火 | 49. 泽火革 | 13. 天火同人 | |
 |  |  |  |  |  |  |  |  兑(泽) |
| 19. 地泽临 | 41. 山泽损 | 60. 水泽节 | 61. 风泽中孚 | 54. 雷泽归妹 | 38. 火泽睽 | 58. 兑为泽 | 10. 天泽履 | |
 |  |  |  |  |  |  |  |  乾(天) |
| 11. 地天泰 | 26. 山天大畜 | 5. 水天需 | 9. 风天小畜 | 34. 雷天大壮 | 14. 火天大有 | 43. 泽天夬 | 1. 乾为天 |
有意思的是， 从左上角开始一行一行向下排列的卦象的顺序恰恰就是朱熹在《周易本义》里面排列的所谓 “伏羲六十四卦次序图” (见表 2.3)。 这应该不是一个巧合。 很可能， 在朱熹的时代， 人们对排列组合已经很熟悉了。
表 2.3 的次序图还有一些有趣之处。 比如， 从表格的中心一一也就是在那个红色十字的地方——画对角线， 那么对角线相对于中心一侧和另一侧的卦象相对于中心成反对称， 也就是说两侧的卦象都可以通过把阴爻和阳爻置换以后得到。 比如中心处的巽和震、益和恒。 这种反对称的卦象叫做 “错卦”。 从二进制数值的角度来看， 一对错卦之间的关系就是把 0 和 1 相互置换。
这些错卦还有相互对应的意义。 在左上右下的对角线上， 巽 (风) 对震 (雷)， 坎 (水)对离(火)， 艮 (山)对兑(泽)， 坤 (地)对乾 (天)。 在左下右上的对角线上， 恒 (不动)对益(增加)， 既济(事已成)对未济(事未成)， 损(减少)对咸(和谐)， 泰对否。
难怪从古至今， 人们对八卦总是这么好奇。
传统的占卜方式是使用蓍草。 蓍草是多年生的草， 生长时间长， 茎秆直而且硬， 古人以为可以通灵。 占卜时， 仪式感很重要。 取 50 根蓍草， 先把一根放在一边不用， 这是象征天地奥秘大衍之数， 名为 “挂一”。 把其余 49 根随意分成两份， 分别握于左右手， 名为 “分二”。 左手为天， 右手为地。 从右手中取出一根， 夹在左手小指与无名指之间， 象征人。 把右手中的蓍草放在一边， 用右手数左手中的蓍草， 每4根一组， 象征四季， 名为 “揲四”。 最后余下 4 根或不足 4 根的蓍草， 夹在左手无名指与中指之间， 象征闰月。 再用左手数刚才右手放下的蓍草， 也是每4根一数， 最后余下的 4 根或 4 根以下， 夹在左手中指与食指之间， 名为 “归奇”。 占卜到这里， 夹在左手手指中间的三组蓍草合起来必定是 9 根或者 5 根。 以上是第一变。
把第一变之后左手剩下的 9 根或 5 根蓍草除去， 剩下 40 或 44 根蓍草。 按照第一变的方法， 重复 “分二、揲四、归奇” 三个步骤， 最后左手的蓍草总数必定是 8 根或 4 根。 以上是第二变。 再将左手的 8 根或 4 根蓍草除去， 把余下的 32 或 36 根蓍草再次 “分二、揲四、归奇”， 最后左手余下的蓍草总数， 必定也是 8 或 4。 这是第三变。
史苑撷英
大衍之数五十， 其用四十有九。 分而为二以象两， 挂一以象三， 揲之以四以象四时， 归奇于扐以象闰。 五岁再闰， 故再扐而后掛。 乾之策二百一十有六， 坤之策百四十有四， 凡三百有六十， 当期之日。 二篇之策， 万有一千五百二十， 当万物之数也。 是故四营而成易， 十有八变而成卦。 八卦而小成， 引而伸之， 触类而长之， 天下之能事毕矣。
——《周易·系辞上》
经过以上三变， 得到八卦位置在最下方， 也就是第一爻的结果。 第一变余下的是 9或 5 根蓍草， 第二和第三变余下的是 8 或 4 根蓍草。 9与 8 是多数， 5 与 4 是少数。 如果三变中有两次是多数， 一次是少数， 就是 “少阳” 爻， 简称为 “单”。 如果三变中有两次是少数， 一次是多数， 就是 “少阴” 爻， 简称为 “拆”。 如果三变都是少数， 即 5、4、 4 时， 就是所谓 “老阳” 爻， 简称为 “重”。 如果三变都是多数， 就是 “老阴” 爻， 简称为“交”。
“老阴”和“老阳”有可能变化， 是“变爻”， 在 “变卦” 中使用。 在变卦中， 原来为阳的爻需变成阴， 原来为阴的爻需变成阳。 “少阴”和“少阳”不变化， 属于“不变爻”。 在经过三变得到第一爻之后， 按照同样的方法， 再做五次， 一共 15 变， 得到其他五爻。 按“初爻”、“二爻”、“三爻”、“四爻”、“五爻”、“上爻” 的顺序， 由下而上按顺序排成卦象。
分析三变中每一爻出现的概率， “树形图” 是极有用的方法。 这个方法在后来的概率分析中还会重复出现。 图2.2 就是这样一种树形图。 其中， 被框起来的数字是蓍草的数目， 红括号里的分数是从上一步到下一步蓍草数出现的概率。 比如从 “挂一” 的 49 根蓍草到第一变的 40 根蓍草的概率是 1/4， 而从 49 到 44 根的概率是 3/4。 圆括号里面红色概率的数值只限于每个框起来的蓍草数下面的两条分支。 每一变当中的概率单独计算， 我们称之为局部概率。 完成第三变以后， 一共有八种结果。 借助树形图， 每种结果的概率可以很容易地计算出来。 比如， 左下角 “老阴” 爻的真正概率是从 “挂一” 处开始， 三个局部概率的乘积， 也就是 (方括号里的数值)。 相应地， 右下角 “老阳” 爻的概率是 。 在老阴和老阳之间有三只少阴爻、三只少阳爻， 把所有少阳爻出现的概率加起来之和是1/16+1/16+3/16=5/16。 同理， 所有少阴爻出现的概率之和是 。
从图 2.2 我们看到， 第三变完成以后剩下的所有蓍草数目都是 4 的倍数。 除以 4 之后， 得到的结果是6、7、8或9。 6对应 “老阴”， 9对应 “老阳”。 7是 “少阳”， 8是 “少阴”。 6、7、8、9这四个数在占卜术中很重要， 叫做四营数。 每一卦需要 18 变， 通过四营数得到卦象。 所以说是 “四营而成易， 十有八变而成卦”。
这些神秘的数字关系相当复杂。 《周易·系辞上》还计算了其他一些数字， 比如乾卦， 如果每一爻都是 “老阳”， 对应着 36 根蓍草 (图 2.2)， 那么 6 只 “老阳” 爻构成的乾卦一共需要 216 根蓍草。 而如果坤卦每一爻都是 “老阴”， 那么 6 只 “老阴” 爻需要用 144 根蓍草， 二者加起来等于 360， 对应着古代一年中的天数。 整体 64 卦， 阴爻与阳爻合起来使用的蓍草总数为11520， 这相当于万物之数。
图2.2 三变的全部可能性及其对应的局部概率 (圆括号中的数值) 和每一爻出现的概率 (底部方括号中的数值)。
图2.2还告诉我们， 按照这个古老的占卜规则， 老阴、老阳、少阴、少阳出现的概率各不相同。 少阴出现的概率最高， 达 7/16；其次是少阳， 等于 5/16；再次为老阳， 等于3/16；老阴最低， 仅为 1/16。 即便是改良后的铜钱占卜方法， 四营数出现的概率仍不相同， 其中老阴和老阳的概率是 ， 少阴和少阳的概率是 。 不过， 如果我们不考虑变爻和不变爻的区别 (也就是说不考虑变卦)， 那么老阳与少阳的概率总和 (5/16+3/16) 等于老阴与少阴的概率总和 (7/16+1/16)， 也就是说阴爻和阳爻出现的概率都是 0.5。
2019 年高考数学全国理科卷有一道跟八卦相关的题， 内容是这样的:
我国古代典籍《周易》用 “卦” 描述万物的变化， 每一 “重卦” 由从下到上排列的 6 个爻组成。 ……在所有重卦中随机取一重卦， 则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是， A:5/16；B:11/32；C:21/32；D:11/16。
如果知道如何产生 64 卦图表 (如表 2.3 )， 就很容易算出恰好有三个阳爻的卦象是 20 个， 它们在 64 个卦象中出现的概率就是 20/64 = 5/16。 所以正确的答案是 A。
本章主要参考文献
Biggs， N. L. The roots of combinatorics. Historia Mathematica， 1979， 6: 109-136.