第五章希伯来文的魔力

组合数学在古典概率里有极为关键的作用。现在让我们专门来谈谈有关组合数学发展的故事。

我们从另一个古老的文明——希伯来文明开始。犹太民族是具有高度宗教感的民族。他们虽然仅占世界人口0.5%还不到，可他们所信奉的上帝却深入到超过 50%的世界人口的信仰当中，包括基督教和伊斯兰教，绵延数千年。伴随着古老的犹太教一直流传下来的，还有犹太神秘主义流派，其中一个最主要的分支叫做卡巴拉 (Kabbalah)，他们修习的经典是《创世书》(Sefer Yetzirah)。这本经典的中文名字和《圣经》里面的《创世纪》(Genesis) 很接近，但它们是完全不同的两本书。

字母	发音	数值	字母	发音	数值
	Alef	1		Lamed	30
	Beit	2		Mem	40
	Ghimel	3		Nun	50
	Dalet	4		Samekh	60
	Hey	5		Ain	70
	Vav	6		Peh	80
	Zain	7		Tzadde	90
	Cheit	8		Quf	100
	Tet	9		Resh	200
9	Yud	10		Shin	300
	Khaf	20		Tav	400

我们前边讲过，中国的八卦有 64 个卦象。这 64 个卦象被用来解释和预测人世间的一切事件。《创世书》则宣称， “以色列的神” 用 32 个符号创造了整个世界。这些符号包括古希伯来文 (Hebrew) 的 22 个字母和希伯来数字 1 到 10 (如图 5.1)。但由于希伯来数字是由字母来代替的，所以实际上真正的符号只有 22 个。这 22 个字母中，代表 1 到 10 的 10 个字母被单独分出来，用来代表神性，每一个称之为 “源质” (英文: Sephirot)。

图 5.1 希伯来文的 22 个字母。每个字母还对应一个数值。在古代犹太人的世界里，数字是用这些字母及其组合来表达的。 “虚无的十位源质，既非九，亦非十一。 ” 十个源质有点像古代中国用来计数的 “天干”。不过，犹太人具有更深层的神学和哲学思考。他们说，无限 (也就是自我显现之前的上帝) 通过这些源质彰显自身，又接连不断地创造一连串更高的形而上学领域以及下面的物质领域的一切。犹太哲人们把这种演化顺序称为链状进程。第一个源质描述神的意志，第二个源质描述意识中神的智慧，第三个源质描述主次意识中神的感情。第一个源质属于阳性，第二、三个源质属于阴性，它们在卡巴拉中被描绘为一个接受外部阳性之光的容器，继而在内部培育诞生下一级的源质。所有的创造之物都可以看成是源质当中生命之源的反映。因此源质也描绘人的心灵活动，并构成卡巴拉中理解万物的概念范式。

22个字母又被分成三组，用来描述和解释凡世间的万物。第一组 3 个字母，第二组 7 个，第三组 12 个。这对应着神的名 (均由 3 个字母组成)，每周的 7 天、肉眼可见的 7 颗古典 “行星” (日、月、木、土、水、火、金)、人的面部的 7 窍、一年中的 12 个月、以色列人的 12 分支，等等。这里我们对 “行星” 加上引号，因为这个当时的称呼是不准确的。月亮是地球的卫星，而太阳则是恒星。

希伯来文属于辅音音素文字，也就是说， 22 个字母都是辅音。熟悉希伯来语的人看到辅音的前后关系就知道正确的元音应该是什么，不熟悉希伯来语的人则需要依靠注音符号来决定正确的元音才能理解文义。这种被称为尼库德 (Niqqud) 的注音符号是由一些细小的点子和横竖杠组成的，以形状和相对于字母的位置来决定发音。犹太古代经典里面没有发音符号，所以行文当中辅音之间的相对位置非常重要。中文里称以色列的上帝之名为 “耶和华”，这其实是中文翻译者的创造。在希伯来文中，上帝的名字是由四个字母组成的，相当于英文的 YHWH，也就是所谓的 “四字神名” (Tetragrammaton)。至于它的来源，有人认为是来自《圣经·出埃及记》中上帝对犹太人的祖先亚伯拉罕 (Abraham) 的自称:“我是自有永有的。 ”(英文翻译:I am that I am) 这是很深奥的一句话。既然上帝是无限的，就不会被一个名字所规限。这很像老子所说的:“道可道，非常道；名可名，非常名。无名天地之始，有名万物之母。 ” 可是人又必须给上帝一个称呼，于是就采用这句话的希伯来文缩写字母 YHWH。这个 “名字” 看似有名，实则无名；无名之中现有名。正所谓， “名可名，非常名”。这显示了以色列民族的智慧之处。 YHWH的发音至今也搞不清楚，因为以色列人总是避免把它读出声来，免得亵渎神明。这好比中国古代的避讳传统。在读经的时候，每逢遇到这个名字，人们总是用其他的名词来代替，如 “我主” 、 “至高无上的”，等等，久而久之，已经没人知道这个名字的发音了。

在古代犹太人的世界，数字没有特殊的符号，它们是靠希伯来字母和它们的组合来表示的。 22个希伯来字母，每一个都对应一个特定的数字 (见图 5.1)。比如代表耶和华的希伯来字母是717°(希伯来文从右向左读)，对应的数值是 $10 + 5 + 6 + 5 = 26$ 。 18一直被认为是个吉祥的数字，因为 “生命” 这个词对应的两个希伯来字母的数值是 8 和 10，所以当人们送礼时，如果是现金，那么通常都是 18 的整数倍。当然今天犹太人也使用阿拉伯数字了。

辅音音素文字，加上字母赋值，使得希伯来文有很多制造文字谜的可能性。

罗马帝国的扩张使犹太人丧失了祖国，四处飘散到世界各地。随着基督教的蔓延，信奉犹太教受到歧视、压迫甚至虐待。整个中世纪，犹太人的生活被强加上种种限制。在很多国家，犹太人不能拥有土地，故而没有从事农业活动的机会，所以，手工业、医生和银行是犹太人最常见的谋生手段。由于缺乏接受犹太圈子以外的教育的机会，很少犹太人能够从事学术研究。只有在穆斯林统治的西班牙、落入法国控制之前的普罗旺斯 (15 世纪以前)，以及零星的意大利城邦国家里，犹太人对知识的追求得到准许。犹太人对数学的兴趣主要来自于他们对《圣经》和其他犹太神学内容进行深入理解的追求。从事研究的主要人物大多是拉比 (Rabbi)，因为他们有犹太社区的财务支持而不必为吃穿发愁。

我们前面讲到古印度宾伽罗对《吠陀经》韵律的研究导致出现了山形图。犹太人也热心研究自己的语言和《圣经》里的文字。希伯来神话认为，上帝创造了世间万物，并给它们都命了名。这些名字当然都是希伯来语。于是犹太人就研究希伯来语的 22 个字母到底能为多少样事物命名，希望能从这个数字得知世界上最多能存在多少种不同的事物。《创世书》在进行这类分析时，有这么一段话:

二石筑二屋，三石筑六屋，四石二十四屋，五石一百二十屋，六石七百二十屋，七石五千四十屋。由此类推，可知多少口尚不能达，耳尚不能闻。

这里， “石” 代表字母， “屋” 代表词汇。 2个字母可以构成 2 个双字母词汇， 3 个字母可以构成 6 个 3 字母词汇，等等。显然这是因为字母的顺序不同，词汇也就不同。这段话说明，《创世书》的作者已经知道 $n$ 个字母的排列方式有 $n$ ! 种: $3! = 6 ， 4! = 24$ ， $5! = 120$ ，等等。

修习卡巴拉的人创造了许多从上帝的名字派生出来的 “秘语”，在冥想修炼时心里默诵。这有点像佛教净土宗的佛号、密宗的六字真经。所不同的是，卡巴拉教徒利用希伯来文书写没有元音的特色，对字母进行排列组合，可以得出千变万化的含义。其中一种就是把 $YHWH$ 的四个字母按照不同顺序排列出来。另外还有八字、十二字、二十二字、四十二字神名，等等。最复杂的七十二字神名，是 13 世纪西班牙一位著名的卡巴拉派拉比阿布拉菲亚(Abraham Abulafia， 1240-1291)发明的。他发现，《出埃及记》中的第十四章第 19 到 21 节，每一节都正好由 72 个希伯来字母构成。希伯来文是从右向左书写的，把第 19 节的第一个字母和第 20 节的最后一个字母连同第 21 节的第一个字母放在一起，就构成七十二神名中的第一个名字。按照相同的规则一直做下去，就构成 72 个神名。据说这是最有力的神名，不论多么强大的魔鬼，听到七十二神名都会望风而逃。另据说，当初摩西在西奈山从上帝那里得到七十二神名; 后来他依靠默诵七十二神名，求上帝分开了红海，使以色列人得以摆脱埃及人的追击。

现存最早的关于希伯来字母排列的分析来自一位生活在意大利南部的犹太裔医生兼学者多诺罗 (Shabbethai Donnolo， 913-982)。他出生在古城奥里亚 (Oria)， 12岁时，全家被阿拉伯人掳去，他单独被亲戚赎出，不幸家人都被押到北非去了。长大以后，他研习医学和星象学，并从希腊人、阿拉伯人、巴比伦人和印度人那里寻求科学知识。由于当时没有犹太人从事这方面的工作，他便在意大利各处游荡，寻找有知识的非犹太人。据说，他还有一位特殊的老师在巴格达，后来他成为拜占庭罗马帝国的宫廷医师。

作为犹太人研究星象学，多诺罗免不了在卡巴拉的《创世书》里寻求神秘信息。为此，他曾仔细研究了希伯来神学经文里可能暗藏的秘密。在对《创世书》的评论里，他首先研究了 5 个希伯来字母的排列问题。图 5.2 是 1884 年华沙复印的多诺罗手稿的一部分。图中的希伯来文跟图 5.1 有所不同，是传统上专门用来为经文作评论时使用的。

下一步，多诺罗考虑 $n = 6$ 的问题。他首先考虑以字母 $shin$ 打头的可能性，他注意到一共有 120 种可能性。考虑到其他 5 个字母打头，每一个打头的字母都对应 120 种可能，所以应该总共有 720 种。可是在列出所有这些可能性的时候，他没有一个系统的方法，所以总是出错，尽管他已经知道一共有多少种。

， 3W77， 13W77， 03W77， 3W77， W377， W777， W737， 7W377， 7W377， 7W377， 0W377， 0W377， 37:07， 73:07， 39:97， 73:707， 73:07， 73:07， 73:097， 73:977， 73:977， 93:77， 03:77， 03:77， 70713， 77813， 7783， 07793， 07713， 71973， 71973， 9773， 9773， 9773， 9773， 71973， 0773， 7073， 6773， 10773， 71973， 71973， 7793， 7793， 7793， 7793， 7793， 7793， 7793， 3:977， 0:377， 3:877， 3:977， 3:977， 3:977， 3:977， 3:977， 3:977， 3:977， 7:977， 3:977， 3:977， 3:977， 3:977， 3:， 137:077， 173:07， 737， 137:131， 731:07， 731， 371， 743:7， 703:7， 703:7， 973:7， 973:7， 3707， 3077， 73077， 73077， 5377， 5377， 73378， 73378”， 737111， 77389， 37780”， 37780”， 37780”， 39770”， 3077’， ‘0737’， ‘7037’， ‘7327’， ‘0377’， ‘0377’， ‘1783’， ‘1783’， ‘1073’， ‘1073’， ‘1073’， ‘1073’， ‘1073’， ’， 17750， 17730， 17730， 17730， 17730， 19730， 3770， 31770， 73770， 73770， 73770， 13770， 13770， 73770， 73770 737W， 377W， 773W， 773W， 377W， 737W， 737W， 737W， 737W， 737W， 737W， 737W， 737W， 737W

图 5.2 多诺罗医生列出的 5 个希伯来字母的 120 种可能的排列。注意希伯来文是从右向左读的，每组 5 个字母后面类似顿号( 、 )的符号是逗号。

公元1140年前后，一位西班牙的犹太拉比埃茨拉 (Abraham ibn Ezra， 1089-1167) 研究了从七大古典 “行星” 当中取出任何几个所构成的不同组合。埃茨拉认为这些 “行星”的组合对人生有重大影响。他发现，从七颗 “行星” 里取出 2、3、4、5、6、7 个，构成组合的可能值分别是 21、35、35、21、7 和 1，总数是 120。表 5.1 给出了他分析从七颗 “行星”中取出三颗的组合分析方法。他还注意到，所有这些结果，除了 1 以外，都可以被 7 整除。

埃茨拉已经知道 $1 + 2 + \dots + n = \frac{1}{2} n (n + 1)$ ，并在计算中熟练自如地使用这个结果。另外，虽然他没有使用我们现在熟悉的表达符号，但他已经知道， $C_{7}^{4} = C_{6}^{3} +$ $C_{5}^{3} + C_{4}^{3} + C_{3}^{3} = 20 + 10 + 4 + 1 = 35$ ，这是 $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 2}^{k - 1} + \dots + C_{k - 1}^{k - 1}$ 的特例。

表 5.1 埃茨拉分析从七颗 “行星” 当中选取三颗的所有 35 种可能的组合

可能的组合	5， 6， 7	4， 6， 7	3， 6， 7	2， 6， 7	1， 6， 7
		4， 5， 6	3， 5， 6	2， 5， 6	1， 5， 6
		4， 5， 7	3， 5， 7	2， 5， 7	1， 5， 7
			3， 4， 5	2， 4， 5	1， 4， 5
			3， 4， 6	2， 4， 6	1， 4， 6
			3， 4， 7	2， 4， 7	1， 4， 7
				2， 3， 4	1， 3， 4
				2， 3， 5	1， 3， 5

(续表)

				2， 3， 6	1， 3， 6
				2， 3， 7	1， 3， 7
					1， 2， 3
					1， 2， 4
					1， 2， 5
					1， 2， 6
					1， 2， 7
每一列的组合总数	1	3	6	10	15

巴恰拉比 (Bachya ben Asher， 1255-1340) 是 13 世纪西班牙最有名的犹太学者之一。他在《圣经·创世纪》里面发现了一个著名的密码。他说，这个四字母的密码埋藏在经文里，从《创世纪》第一节里的第一次出现的字母tau开始，跳过 42 个字母，下一个字母是 heh; 再跳过 42 个，是字母 resh; 再跳过 42 个，是字母 daleth。他说，这个词代表了新月，指的是世界的创生。这个意思正好同《创世纪》吻合。巴恰发现的等距离跳动的采读方式后来变得极为流行，致使许多人相信，《圣经》中隐藏着无穷的信息量和预测，比中国的《推背图》厉害多了。尤其是在计算机发达的今天，人们从各种著作当中发现五花八门的隐藏“密码”，许多故事精彩纷呈。不过那都是题外话了。

在 13 世纪即将结束的时候，年富力强的法国国王 “美男子” 腓力四世 (法语: Philippe IV le Bel， 1268-1314) 正在同年老力衰的教皇朋尼菲斯八世 (拉丁语: Bonifacius PP. VIII，约 1235-1303 ) 争夺统治权和教会财产。当时法国竭力扩张，正在国内横征暴敛，用来补充国库。 1296 年，朋尼菲斯八世削去了世俗君主对神职人员的权力，成为二人争端的导火线。 1303 年，法军攻入朋尼菲斯八世的住所，将其羁押了三天。被释放后不久，老教皇激愤而死。 1305年，在腓力四世的压力下，原本为法国律师的波尔多大主教当选为教皇，也就是克雷芒五世 (拉丁语:Clemens PP. V， 1264- 1314)。几年以后，克雷芒五世在腓力四世的压力下把教廷从罗马梵蒂冈迁到亚维农(Avignon)。亚维农当时属于阿尔勒王国(Kingdom of Arles)，紧挨着法国南部的边界。自此之后，先后七任教皇成为法国国王的人质，历时达 69 年之久，史称 “亚维农之囚”。 1312年，克雷芒五世又下令解散圣殿骑士团，许多骑士团成员被腓力四世活活烧死，财产充公。圣殿骑士团是当时世界上最为富有的宗教团体之一，但腓力四世还不满意，他开始驱赶犹太人，没收他们的财产，以充实国库。

处在普罗旺斯的亚维农，犹太人的生活相对自由平稳。距离亚维农 20 公里有一座小城名叫奥朗日 (Orange)， 14 世纪重要的犹太思想家利未・本・哲尔颂 (Levi ben Gerson， 1288-1344) 就生活在这里。这个名字的意思应该是哲尔颂家的利未。读过旧约《圣经》的人应该能猜到这个名字在犹太人当中的地位。利未是雅各的第三子，而雅各是亚伯拉罕的孙子。雅各用 “一碗红豆汤” 从哥哥以扫那里换来了长子的名分，又因与天使角斗而改名叫以色列，故而是犹太人的祖宗。而利未的长子就是哲尔颂，利未的后代成为以色列人的十二部落之一，被称为利未人，他们是被拣选出来专门服侍上帝的部落，负责协助祭司进行宗教仪式。

这样的家庭世世代代受到良好的希伯来教育，基本上都从事与宗教活动有关的职业，所以这位利未应该生来就是拉比的材料。但他似乎一生也没有得到一个真正的拉比职位。原因很简单，这个利未思想过于开放，被人视为离经叛道。他常用常识来解释《圣经》里的神迹，属于大逆不道。他那些对神学文献的评论经常遭到正统犹太教人士的激烈抨击，他的神学著作几乎都成为禁书。在利未 33 岁的时候 (1321 年)，他写了一本书名叫《计算的艺术》(The Art of Calculating)。书名的希伯来原文，罗马字化以后是 Maasei Hoshev。这个语句有多重含义。直接翻译是 “计算的艺术”，但它实际上来自《出埃及记》里耶和华指示摩西制作燔祭圣所时所要求的技艺。在中文的《圣经》翻译里，这个短语被译成 “巧匠的手工”。

在《计算的艺术》这本书里，利未研究的主要是排列组合问题。为什么研究这个问题呢？我猜测，还是和 22 个希伯来字母所能产生的单词数目有关。《创世书》里 “二石筑二屋”的思路显然是不完整的。从 22 个字母中应该考虑任意选出 2 个、 3 个…… 以至 22 个字母来，看一共有多少种可能，这是更进一步的组合问题。然后再考虑每一种组合当中，改变字母的位置和顺序，一共有多少种可能。为此，必须解决排列问题，利未的目标很可能就是这个。为了达到这个目的，利未在人类历史上首次对排列组合问题进行了完整的理论证明。他在前言里是这么说的:

“一项实际工作的圆满完成不仅需要了解需要完成它的实际行动，而且需要做出解释，如为什么要采用某种方式来完成它。计算的艺术是一项实际工作，所以也必须考虑计算的理论。在计算的领域需要理论，还有一个理由，那就是这个领域包括许许多多的计算，每一种计算可能是针对多种不同的对象来进行的; 这些对象不可能被归到同一类事物当中去。如果不懂得理论，一个人就会在计算中面临极大的困难。而一旦有了理论知识，掌握计算方法就变得非常容易。有理论知识的人懂得如何处理属于同一基本类型的不同的问题。不懂理论的则把每一种计算单独分析处理，搞不清它们实际上是一回事。 ”

这在当时是相当超前的看法。这种追求严谨性的抽象思维方式很可能得自于欧几里得的《几何原本》的启发，因为哲尔颂对这本书做过详细的研究和评论。虽然 12-13 世纪的阿拉伯文献中提及过波斯数学家卡拉基 (Abū Bakr Muhammad ibn al Hasan al-Karajī，约 953一约 1029 )，说他早在 10-11 世纪就找到了二项式展开系数的关系，也就是 $C_{n}^{k} = C_{n}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ ，但他的著作已经失传了。

前人用列表的方式把每一个排列组合的可能性一个个列出来，利未则采用数学归纳法来证明排列与组合的一般结果。比如，《计算的艺术》中的命题 63: 如果对于 $n$ 个不同元素来说，有 $P (n)$ 种排列，那么，对于 $n + 1$ 个元素就应该有 $(n + 1) \times P (n)$ 种排列方式。换句话说，就有 $P (n + 1) = (n + 1) \times P (n)$ 。

我们在上述描述中采用的是现代的数学符号，这只是为了表述简洁。当时没有这类代数表达方法，利未完全用文字 (希伯来文) 来描述他的思路。接下来，他对这个命题做了非常详细的证明。

利未是从希伯来文的前 5 个字母开始分析的，不过我们这里用 $a 、 b 、 c 、 d 、 e$ 来代替。他第一步的分析逻辑和多诺罗很相似，不必先计算这 5 个字母可以有多少种排列，暂且用 $P (5)$ 来表示。如果，现在引入第六个字母 $f$ ，那么把 $f$ 放在 $P (5)$ 种 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 、 $e$ 的排列方式的最前边，就有了 $P (5)$ 种六个字母的不同排列方式。下面，把 $a 、 b 、 c 、 d 、 e$ 当中的一个字母比如 $e$ 换成 $f ， a 、 b 、 c 、 d 、 f$ 这 5 个字母也有 $P (5)$ 种排列方式。这些排列显然都跟 $a 、 b 、 c 、 d 、 e$ 的排列不同，属于新的排列方式。再把字母 $e$ 放到 $a 、 b 、 c 、 d 、 f$ 的排列方式的最前边，又得到 $P (5)$ 种不同的排列方式。既然对 $a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f$ 当中的任何一个字母我们都可以这样做，我们就证明了 $P (5 + 1) = (5 + 1) \times P (5)$ 。以上的证明方式跟起始的具体字母数目 $(n = 5)$ 没有关系，它适用于任何一个非零的正整数 $n$ ，所以就得到 $P (n + 1) = (n + 1) \times P (n) 。$

故事外的故事

不少国家的学者们都利用排列组合来研究语言和诗文。有一句著名的歌颂圣女玛利亚的拉丁文诗句:

Tot tibi sunt dotes， Virgo， quot sidera calo.

(如此众多的美德啊，贞女，如天空之众星。 )

按照六步韵的规则 (每句六步，每步包含两个长音，或一长两短)，重新排列诗句里的字母，不能加也不能减，可以构成多少诗句?

鲁汶大学教授普提阿努 (Erycius Puteanus， 1574-1646) 找到 1022 种。这里面，贞女 (Virgo) 这个词是不能变的，因为要保留诗句对贞女歌颂的内容。他知道还有更多。之所以停在 1022，是因为古希腊天文学家托勒密的星图上有 1022 颗星星。

从那以后，许多数学家都试图彻底解开这个谜。法国人普勒斯特 (Jean Prestet， 1648-1690) 说，符合拉丁语法的排列有 3276 种。英国人沃利斯 (John Wallis， 1616-1703) 说有 3096 种。伯努利 (Jakob Bernoulli， 1654-1705) 说有 3312 种。到底谁对呢?

1902 年，当所有的排列组合理论都已完备，两位数学家同时但各自独立分析这个问题并得到一致的结果: 2880。

可是最终还是伯努利是对的。这是因为他在分析的时候，采用了严格而且系统的步骤。他说: “即使最聪明最小心的人也会犯错。逻辑学家称这种错误为对事件列举不足。 ”

排列和组合是概率分析的基础的基础，而在分析事件的排列组合时最容易犯错误，即便是著名的数学家也不能幸免。第一步迈错了，后面全错，所以必须小心。

之后，利未总结说:1个元素的排列总数是 1；2个元素的排列总数等于 $2 \times 1$ ；3个元素的排列总数等于 $3 \times 2 \times 1$ ，等等。因此我们证明了这个结果可以一直无限地延续下去。

就这样，利未在讨论了最初始的步骤以后，采用归纳的方法一步步达到最后的证明。

接着，利未考虑从 $n$ 个元素里取出 $k$ 个元素的排列问题。他先提供一个计算 $P_{n}^{2} = n \times (n - 1)$ 的步骤，然后利用归纳法证明 $P_{n}^{k} = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1)$ 。跟前面一样，他把归纳步骤表述为一个命题:

命题 65: $n$ 个不同的元素，如果选取其中 $k$ 个所组成的排列总数是 $P_{n}^{k}$ ，那么，对 $n + 1$ 个元素来说， $P_{n}^{k + 1} = (n - k) P_{n}^{k}$ 。

利未对这个命题的证明同上面介绍的类似。他首先分析 $k + 1$ 个元素的排列如何从 $k$ 个元素的排列中得到。他的起始点是 $n = 7 ， k = 2 ， P_{7}^{2} = 7 \times 6$ 。从这里，他得到 $P_{7}^{3} = 7 \times 6 \times 5 = P_{7}^{2} \times (7 - 2) 。$

然后给出完整的结果。为了澄清他的文字描述，他把起初采用的具体例子推广到 “任何一个数” $n$ 。有兴趣的读者不妨自己证明一下他的命题 65。

《计算的艺术》用最后三个命题完成了对排列和组合的所有公式的推导和证明。命题 66 证明 $P_{n}^{k} = C_{n}^{k} \times P_{k}^{k}$ ，命题 67 把命题 66 的结果简单地调过来，写成 $C_{n}^{k} = P_{n}^{k} / P_{k}^{k}$ 。由于利未已经给出了计算最后这个表达式中分母和分子的公式，他得到

C_{n}^{k} = \frac{n \times ( n - 1 ) \times \dots \times ( n - k + 1 )}{k !} .

最后，命题 68 证明 $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ 。

所以，早在 14 世纪 20 年代，排列与组合的基本结果就在奥朗日这个地方完成了。然而利未的工作对数学的发展没有产生很大的影响。这是为什么呢? 利未自己完全生活在犹太人的圈子里。很可能，他生活的犹太群体没人对他的工作感兴趣。这很自然，因为当时的欧洲反犹情绪极为强烈。《计算的艺术》完成的当年 (1321 年)，有一个谣言正在法国迅速地传播着:占领西班牙的阿拉伯人收买了法国犹太人，让他们在整个基督教欧洲散布麻风病，在井水河水中下毒，以此消灭整个基督教世界。很快，法国和周围国家边远地区的年轻男女暴徒便开始袭击犹太社区和麻风病患者。次年，法国的犹太人第三次被驱逐，整个欧洲面临饥荒。在这样的背景下，有几个人能够像利未那么幸运，还可以在象牙塔里研究数学呢?

本章主要参考文献

Nash， J. N. Abraham Abulafia and the Ecstatic Kabbalah. The Esoteric Quarterly， Fall， 2008， 51-64.

Simonson， S. The Mathematics of Levi ben Gershon. Mathematics Teachers， 2000， 93: 659-663.

Simonson， S. The Missing Problems of Gersonides - A Critical Edition， II. Historia Mathematica， 2000， 27: 384-431.

Youliang Zhong

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