第十章 无法完成的名著
疾病缠身的布莱斯·帕斯卡在 1654 年 11 月 23 日夜里做了一个梦， 里面充满了神秘的迹象。 他马上起身记录下梦境， 之后便潜心修习神学， 一代数学天才从此逐渐凋零。
帕斯卡神秘之梦之后不到两个月， 一个男婴出生在瑞士巴塞尔 (Basel) 一个富有的香料商人的家里。 雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli， 1654-1705)(图 10.1)是家里的老大。 对于他的童年时代我们几乎一无所知， 很可能， 他是个平凡的孩子。 长大以后， 他顺从父亲的愿望， 进入巴塞尔大学修习神学和哲学， 准备成为神职人员。 可是在大学里， 他意外地发现了数学和天文学。 这些知识让他着迷， 于是就瞒着父母选修这些课程。 22岁的时候 (1676年)， 雅各布获得了神学执照， 可以做牧师了。 可是这一次， 他公然违抗了父亲的意愿， 坚决不继续神学， 可以想象他的父母是多么的震惊和失望。
此后， 他花了六年时间在欧洲各国漫游， 结识科学和数学领域的名人， 学习新发现。 他先到意大利的热那亚 (Genoa)， 在那里为人补习功课; 然后到法国， 追从法国笛卡尔派数学家马勒勃朗士 (Nicolas Malebranche， 1638-1715); 再转到尼德兰， 跟数学家胡德 (Johannes van Waveren Hudde， 1628-1704) 学习; 最后到英国， 结识了波伊尔 (Robert Boyle， 1627- 1691) 和胡克 (Robert Hooke， 1635- 1703)。 从此， 他一直跟这些人保持联系。 28岁的时候， 他在巴塞尔大学得
图 10.1 雅各布・伯努利。 这幅画像是雅各布的弟弟尼古拉(Nicolaus Bernoulli， 1662- 1716) 在 1686 年完成的。 当时雅各布 31 岁。 到一个教授固体和流体力学的教席， 同时攻读博士学位。 待到博士论文付印， 他已经三十二三岁了。
在此期间， 雅各布仔细研习了许多当时前沿数学家的工作， 其中包括笛卡尔的 《几何学》， 沃利斯 (John Wallis， 1616-1703) 和巴罗 (Isaac Barrow， 1630-1677) 关于微积分的早期思想。 他对这些领域都非常感兴趣， 打算深入研究。 可是在 1682 年， 他访问莱顿 (Leiden) 的时候， 在书店里买到一部荷兰数学家舒腾 (Frans van Schooten， 1615-1660) 的著作。 这本书主要讨论笛卡尔几何学， 但在书末的附录里放了一篇 《关于赌博游戏的计算》(拉丁文: De Ratiociniis in Ludo Aleae)。 这是舒腾的学生惠更斯(Christiaan Huygens， 1629-1695)用荷兰文写的论文， 由老师翻译成拉丁文。 这篇仅仅 14 页的论文， 提出一系列命题， 建立了一些简单的规则， 用来计算博弈游戏中所谓的 “期望值”。 所谓期望值是按照游戏的概率分布可能赢得的平均数， 它是所有可能的回报与对应于该回报的概率的乘积的总和。 举个简单例子。 设想一个骰子游戏， 如果你投出 1 点就赢一块钱， 投出两点赢两块钱， 等等， 以此类推。 每一投的概率都是 1/6， 那么这个游戏的期望值就是
一般来说， 在你下赌注之前， 必须先计算一下你的期望值。 假设庄家要求的价码是 3 元钱投一次， 由于平均来说每投一次可能得到 3.5 元的回报， 那么这个游戏就有赢的可能。 如果庄家要 4 元钱， 你就不必参加了。 这是个很有用的参数， 我们在后面还会用到它。
惠更斯在书的结尾处还列出五个深具挑战性的习题。 雅各布读了以后， 兴奋异常， 马上把兴趣转到这方面来了。
在五个挑战性习题里， 惠更斯占用了相当的篇幅专门讨论布莱斯·帕斯卡给费马提出的最后一个挑战。 不过在解决这个问题的时候， 他把游戏的规则稍微改变了一下， 让甲乙两人从拥有相等的 12 分开局， 投出赢分点数的一方从另一方的 12 分里夺得 1 分， 输光所有 12 分者出局。 这就是后来有名的 “赌客破产问题” (Gambler’s ruin)。 惠更斯给出了问题的答案， 但却让读者自己去寻找解决途径。 他的答案是 282， 429， 536， 481比244， 140， 625。 这个比值正是上一章里面帕斯卡的比值经过化简之后的结果。
自从决定投身于科学开始， 雅各布就开始记日记， 不过他所记的不是日常琐事， 而是对科学问题的思考、证明和推论， 这些 “日记” 在他身后才得以 《冥想集》(拉丁文:Meditationes)的名字出版。 从《冥想集》我们知道， 正当大多数的数学家殚精竭虑地解决具有精确定义的数学问题时， 雅各布却对含有大量生活中充满不确定因素的问题深感兴趣， 并努力想把这些问题用数学方法表达出来， 加以解决。 我们这里只举一个例子: 婚约。 如果将来新婚夫妇二人的父母之一去世， 双方应该如何分配留下的遗产？这是婚约中很关键的内容， 但也是最难以解决的问题。
如果假定新婚夫妇和他们的父母有相同的死亡可能性， 这显然是不合理的。 常识告诉我们， 新郎和新娘通常比他们的父母离开这个世界的时间要晚一些。 雅各布试图引入一个描述疾病的变量， 考虑哪种疾病更可能造成谁的死亡， 但他对这种处理方法满怀疑虑。 最后， 他无奈地说: “不可能用定义变量的办法给出通解。 ” 他意识到， 对意外死亡作任何假定都是没有根据的， 更不可能用科学的方法准确地计算出来。 他说， 对于这类 “社会与道德” 的问题， 未来的真正状态永远不可能被精确地确定， 只能限定在某种可能的范围内; 不可能依靠理论 “先验地” ( priori) 确定， 而只能从已经产生的结果反推回去， 也就是说 “后验地” (a posteriori) 来确定。 而 “后验” 就意味着要对大量类似的情况事先做出观察、统计和归纳， 之后才能做出估计性的推论。
《冥想集》里的第 77 条冥想是雅各布在 1685 年到 1686 年之间得到的。 研究数学史的人把它看成是现代概率统计论诞生的标志。
雅各布还考虑了许多其他问题， 比如， 一年之内在一个城市里会有多少婴儿出生， 多少人去世？ 某种传染病重新泛滥的机会有多少？ 法庭里证人作证词的可信性是否可以根据该证人以前的对证记录来估判? 他还指出， 保险契约、选举、测量、失踪人口、农作物未来收成的预测、拘留待审问题、药物的有效性等等， 都可以通过类似的分析方法来解决。 直到 20 世纪之前， 这类问题只有极少数得到了解决， 可是这些问题都在他的《冥想集》里提出了解决的建议。 从这个意义上， 可以说雅各布的想法比他的时代至少超前了两个世纪。
不久之后， 雅各布在笔记本的第 77 条 “冥想” 的空白处加了一句话:“的确， 我的观察点越多， 我预测的偏差就越小。 我把证明放在附录里了。 ”
进行理论证明之前， 他初始的大致思路是这样的: 假设有一种赌法， 比如投硬币， 赢的理论概率值是 1/2。 我们想考察一下， 在什么情况下能够达到赢的概率超过 2/3， 输的概率少于 。 换句话说， 在 的概率范围以外的概率是如何随着赌局的次数增加而变化的？这里， 让我们把 1/3 到 2/3 这个范围叫做 “允许概率范围”。 雅各布计算把游戏重复3次、6次、9次、12次以后获胜的概率值， 想看看对应于允许概率范围内的获胜率， 也就是赢得赌局的实际概率值是如何变化的， 跟理论概率值是什么关系。
如果连赌 3 次 ， 那么就有 种可能的结果。 根据公式 (9.1)， 3 局全胜的概率是 。 同理， 3 局全输的概率也是 。 这两种情况都在考虑的概率范围 之外。 高于 的情况属于概率区间 ， 低于 的情况属于概率区间 。 对应于给定的允许概率范围， 实际获胜率的区间是 。
对于 ， 总共有 种可能的结果。 获胜率高于 的情况有两类: 6 局里面赢 5 局(一共有 种可能)和全赢(1 种可能)， 总共 7 种可能。 也就是说， 高于 2 / 3 的赢的概率在 和 1 之间；其概率区间为 。 获胜率小于 的情况也有两类: 6 局里面输 5 局(一共有 种可能)和全输(1 种可能)， 总共也是 7 种可能， 所以获胜率低于 1/3 的概率区间是 。 对应于给定的允许概率范围， 实际获胜率的区间是 。 同 的情况相比， 处于允许概率 之内的实际获胜率范围从 0.75 增加到了 0.782。
对于 ， 按照类似的分析， 获胜率高于 的情况有 4 类: 12 局里赢 9 局、10 局、11局和12局。 获胜率小于1/3的情况也有四类:赢3局、2局、1局， 全输。 读者可以自己验证， 获胜率高于 的概率区间是 ， 而获胜率低于 的概率区间是 。 对应于给定的允许概率范围， 实际获胜率的区间是 。 处于允许概率 之内的获胜率范围现在达到了 0.854。
我们在图 10.2 中把这些结果直观地表达出来。 给定一个允许概率的变化范围， 随着赌局数目 的增加， 获胜率的范围也随之增加。 反过来看， 对于一个确定的获胜率范围来说， 是否可以说， 只要 足够大， 允许概率范围就可以足够小呢? 换句话说， 对一个任意给定的理论概率值 ， 是否能找到足够大的 ， 使得获胜率处在概率区间 内呢? 如果答案是肯定的， 那么我们就可以用大量的重复次数来确定理论概率值， 这里 是一个很小的正数， 而且当 趋于无穷大时， 趋于 0。
图 10.2 雅各布的简单计算结果。 随着赌局数量 (事件发生) 的增加， 界定在 和 之间的概率范围(也就是橘黄和深蓝两条线之间的范围)随之增加。
雅各布在第 77 条 “冥想” 的空白处所做的 “证明”， 就是著名的 “伯努利大数定律”。 这是个描述大量重复同一个随机过程的结果的定律。 根据这个定律， 一个随机过程重复次数越多， 其结果的算术平均值就越接近于这个过程的理论概率值。
这个定律非常重要， 因为它阐明， 很多随机事件的平均值具有长期稳定性。 比如我们在第一章里看到的， 向上抛一枚硬币， 每一次硬币落下， 哪一面朝上是无法预测的。 但当我们抛硬币的次数达到几千次、上万次甚至几十万次以后， 我们就会发现， 硬币出现两个面的次数越来越接近于相等， 大约占总次数的二分之一。 换句话说， 虽然每次抛硬币的结果看上去是偶然的， 但我们可以确定， 两个面朝上的平均概率相等。 在第一章的图 1.4 里， 我们可以明确地看到， 大量抛同一枚硬币的概率的趋势逼近于 0.5， 抛的次数越多， 距离 0.5 就越近。
雅各布在《冥想集》附录里的证明， 用细小的字体写满了整整 6 页纸。 他考虑一个装满小球的罐子， 小球的大小相同， 但是被漆成红、黑两种颜色， 红色球有 个， 黑色球有 个， 蒙上眼睛从罐子里每次取一个球出来。 从前面几章的讨论我们知道， 取得红色球的理论概率值是 。 如果红色和黑色小球的数目一样多， 即 ， 那么 。 如果不断地从罐子里取出小球来， 取尽之后， 把所有小球装回罐子再取， 这样重复 遍， 也就是说， 一共取 次小球， 在 变得非常大的时候， 取到红色小球的机会是怎样的呢?
在严重缺乏高等数学理论的 17 世纪， 要解决这个问题是相当困难的， 因为这里面牵涉不少没有上限的无穷数列: 个元素的数列在 趋于无穷大的时候， 对应于 的元素的值也趋于无穷大。 雅各布需要分析这样的数列的比值才能得到对概率的估计， 然而他做到了， 但是过程非常复杂。
完成证明以后， 他写道:“我对这个发现感到非常自豪。 即使假如我能发现化圆为方的方法， 也不会如此骄傲， 因为我这个发现有用多了。 ”
化圆为方是古希腊三大几何难题之一， 具体故事在《几何与代数卷》里讲。
雅各布的证明在 1687 年到 1689 年之间就已经完成了。 他计划写一本书， 连书名都想好了， 叫《猜度术》(拉丁文:Ars Conjectandi; 英文:The Art of Conjecture)。 他甚至给自己的分析过程取了一个极富哲学思辨底蕴的名字:随机过程。 “随机”(英文: stochastic) 这个词来自古希腊著名哲学家柏拉图 (Plato， 公元前约427-公元前 347) 的 《斐莱布篇》(Philebus)。 其中有一段话， 希腊文原文的大意是:
如果把计算、测量、测重从任何艺术中抽走， 那么所剩下的就很有限了……所剩下的要靠实践经验的猜测和对感觉的改进， 采用某种技艺击中目标 (στοχαστικì): 许多人认为这本身也是一种艺术， 它可以靠练习和努力来加强。
如果用罗马字母把στοχαστικη这个希腊文的词一一对应地写出来， 就是 stochastich。 其字根的本意是瞄准或者猜度。 现代概率论里用 stochastic 来描述一些现象或过程， 中文翻译成 “随机” 过程。 在英文里， stochastic 和 random 经常混用， 但如果仔细品味， 后者有 “随意” 的含义， 所以不是很确切。
不妨以射箭作为例子。 朝向靶子射箭， 尽管射手可能很糟糕， 但箭发射出去的总方向是有限度的。 这种情况下， 箭的落点就可以说是随机的。 假如射手朝四面八方乱射， 包括朝与靶子成 的方向甚至朝背后射出， 那就不是随机而是随意了。 前者也许可以找到规律， 预测箭的落点， 而后者则是无法预测的。
如此一部充满新思想的著作， 却被雅各布压在手里迟迟不肯发表， 历史学家对此猜测纷纭。 雅各布可能想对 “大数” 到底需要多大有个可靠的估计， 因为这涉及他的定律能否在实际生活中得到应用。 为此， 他对无穷数列做了很深入的研究， 留下数篇很重要的论文。 不过更可能的是， 雅各布找不到实际生活中的数据来检验他的理论。 他曾在一篇综述文章里看到， 有个名叫格朗特 (John Graunt， 1620-1674) 的英国人发表过一篇讨论出生率和死亡率的文章， 可是他找不到原文。 他还知道， 荷兰共和国 (也叫尼德兰七省共和国)有个大议长名叫德维特 (Johan de Witt， 1625-1672) 曾经发表过一本备忘录， 列出那个国家一些城市的出生和死亡人口数据。 雅各布是个完美主义者， 没有实际数据， 他的理论无法得到检验， 他心里没有底。
在这期间， 他的生活也发生了一些变化。 1683 年， 他开始在巴塞尔大学任教， 负责教授实验物理。 第二年他结了婚， 不久又成为数学系系主任， 那是个令人艳羡的位置， 但研究之外的杂事也随之剧增。 更重要的是， 小他 13 岁的弟弟长大了。
约翰 (Johann Bernoulli， 1667-1748) 是伯努利家 10 个兄弟姐妹中的老幺。 父母想让他继承父业， 所以在他15岁的时候， 就让他试着做香料生意， 可是他一点也不喜欢。 1683年， 父母在百般犹豫之后， 送他进入巴塞尔大学学习医学。 可是在课余时间， 约翰却偷偷跟着哥哥学数学(图 10.3)。 后来这几乎成了伯努利的家庭 “传统”; 在雅各布的影响下， 伯努利一家连续三代出现了十几位有名的数学家和物理学家。
图 10.3 科学发现总是搅在一起的伯努利兄弟。 1870 年版刻画。
教书的雅各布发现了德国数学家莱布尼茨关于微积分的著作， 他一边研究， 一边给约翰上课。 弟弟天分极高， 两年以后， 就基本上可以跟哥哥并驾齐驱了。 当时在欧洲很少有人能读懂莱布尼茨的理论， 伯努利兄弟在推广莱布尼茨理论方面做出了引人注目的贡献。
1691 年， 约翰受邀到意大利的热那亚讲授微积分， 不久又到了巴黎， 在那里认识了数学家洛必达 (Guillaume de L’Hôpital， 1661-1704)。 富有的洛必达请约翰住进他在巴黎郊区的豪宅， 为他教授莱布尼茨的微积分学， 并付给约翰极为丰厚的薪金， 每年 300 金法郎。 也许是金钱的诱惑， 约翰同洛必达签了一个后人议论纷纷的协议: 洛必达有权无偿使用所有约翰讲授的材料。
雅各布对约翰这个近乎卖身的决定显然非常不满， 甚至怀疑自己的想法也会被弟弟 “卖” 给洛必达。 后来洛必达发表了《曲线的无穷小分析》， 其中第一次出现了微分分析中著名的 “洛必达法则”。 洛必达只是在书的结尾处象征性地感谢了一下伯努利兄弟， 但约翰后来声称， 这个法则是他发现的， 这就是历史上有名的洛必达纷争。
雅各布和弟弟之间的裂隙也越来越大。 约翰拿钱做事的风格让雅各布疑虑重重， 同时弟弟在数学界的声望飞速升高， 似乎也让哥哥心理不平衡。 约翰到处吹嘘自己， 贬低哥哥， 而雅各布的反应是公开宣称约翰拿了兄长的发现来提高自己。 于是两个人互相攻击， 严重损害了自己和家庭的名誉。 为了争出个高下， 他们在学术杂志上出难题互相挑战， 挑战的方式相当奇特。 开始是争先在当时世界唯一的科学杂志《博学之行》(拉丁文:Acta Eruditorum)上发表自己的发现， 后来发展到一位把密封的挑战题寄给位于莱比锡的杂志社， 再由主编转给另一位。 等到另一位解决了问题以后， 再把两人的解决方法同时公布于众。 这种挑战极具杀伤力， 以至 17 世纪的最后几年， 兄弟俩不仅互不通信， 连话都不说了。 这些争论耗费了雅各布相当多的精力， 而他的健康状况也越来越糟糕了。
雅各布在写一本关于概率的书， 这消息还是泄露出来了。 洛必达和莱布尼茨都找约翰询问此事， 而约翰只能说， 他知道哥哥很早就动笔了， 至于目前状况他一无所知。 莱布尼茨于是直接写信给雅各布。
莱布尼茨与伯努利兄弟的关系非同一般。 两兄弟最早搞懂了莱布尼茨的微积分并将其思想发扬光大， 在欧洲传播， 对此莱布尼茨深怀感激。 后来， 当牛顿 (Isaac Newton， 1643-1727) 在英国皇家科学院状告莱布尼茨， 说他抄袭自己的微积分的想法时， 伯努利兄弟坚决站在莱布尼茨一边， 否定抄袭的指控。 这个故事， 在《函数与分析卷》有详细的介绍。
可能雅各布感觉弟弟同莱布尼茨的关系过于亲密， 他在回复莱布尼茨的询问时尽量避免数学证明的细节， 而只是谈他解决问题的原则。 这使两人的信函充满了哲学的味道， 但是对概率的门外汉来说， 这种讨论可能更有启发。 下面是伯努利在 1703 年 10 月 3 日给莱布尼茨的信中对自己思路的描述:
“我们知道， 任何事件的概率取决于事件的所有可能的结局， 无论它们是否发生。 比如， 我们知道投掷两枚骰子时， 得到 7 点的概率比得到 8 点多多少。 可是我们不可能知道， 一个 20 岁的年轻人活过一个 60 岁的老人比反过来的情况多多少。 这是因为， 我们知道投两枚骰子的所有可能的结果， 但我们不知道年轻人早死于老年人的所有案例的数目。 由此， 我开始考虑， 先验的不能预知的信息能否从后验的、许许多多类似的案例的观察中估计出来。 比如， 如果我做一个实验， 观察许许多多对的年轻人和老人， 观察到其中年轻人活过老人的情况有 1000 个， 而老人活过年轻人的情况有 500 个， 那么我就可能比较安全地推论， 年轻人活过老人比老人活过年轻人的可能性要高一倍。 ……随着观察数目的增加， 推论的可靠性也会连续地增加。 也就是说， 真正的概率比值或者存在于我所观察到的比值和某个不同的观测比值之间， 或者最终对可能性的估计达到一个程度， 但不能更精确了。 如果是后一种情况， 我们的努力就到此为止了。 然而如果是前一种情况， 我们后验找到的比值的可信程度跟先验确定的比值没有不同。 ”
雅各布·伯努利在这里所描述的， 其实已经进入统计概率和归纳概率的领域。 不过后人指出他的一个逻辑上的跳跃: 在大数定律中， 他证明了如果已知理论概率值， 那么当随机事件数目足够大时， 观测到的实际概率的数学平均值可以逼近理论概率值。 但是， 如果理论概率值完全是未知的， 能够通过大量随机事件来反演这个概率值吗? 从雅各布上面的话来看， 他相信是可以的， 但是他的数学证明并没有涉及反演问题。 他在图 10.2 中显示的思维方式还是从已知概率开始的。 后来数学家证明， 使用他的方法， 普遍的反演结果是做不到的。 这个问题需要最大似然估计原理的发现， 而那要等到雅各布死后 100 年了。 而最大似然估计原理说明， 雅各布的想法是可以实现的。
故事讲到这里， 我们可以进入下一章了。 不过我们还需要交代几句《猜度术》的最终结局。
雅各布曾经写信给莱布尼茨， 请他帮助寻找德维特的人口生死统计表。 不知为什么， 通常对回信如钟表一般准确的莱布尼茨却没有回复他的请求。 雅各布一直试图解决惠更斯的赌客破产问题， 但对自己的解答总不满意。 1705 年 8 月 16 日， 雅各布 伯努利因肺结核在巴塞尔去世， 享年 50 岁。
雅各布的去世在欧洲数学界引起对他的数学遗产的强烈兴趣。 抢救《猜度术》 的呼声越来越高， 不明兄弟龌龊内情的人们呼吁约翰·伯努利伸出援手。 约翰明白自己的处境， 明智地推却了。 实际上， 雅各布的遗孀朱迪斯 (Judith) 是一位很有生意头脑的女性， 她小心谨慎地守护着丈夫的手稿， 没有丝毫的怠慢。
雅各布还有个弟弟， 在三兄弟中排行第二， 是位画家。 老二的儿子名叫尼古拉， 为了避免和伯努利家好几位同名的人混淆， 习惯上称他为尼古拉一世 (Nicolaus I Bernoulli， 1687-1759)， 不过在这里我们就称他为尼古拉好了。 尼古拉曾经就学于雅各布， 并得到硕士学位。 他硕士论文的一部分是研究无穷数列， 那是雅各布概率理论中的一部分。 大概在雅各布去世之后， 他去了德国， 在约翰那里继续学习， 可是不久又回到巴塞尔， 并于 1709 年获得博士学位。 约翰与尼古拉那时同法国数学家德蒙莫尔 (Pierre Rémond de Montmort， 1678-1719) 有频繁的书信往来。 德蒙莫尔在1708年刚刚出版了《博弈分析》(Analysis of Games of Chance)一书， 这本书主要是受到惠更斯的 《关于赌博游戏的计算》的启发， 计算一些当时流行的博弈游戏的概率。 有人认为， 德蒙莫尔已经听说雅各布有一部《猜度术》， 既然雅各布已经驾鹤西去， 他试图按照自己的想法， 把雅各布的书“重造”出来。
德蒙莫尔也有一个阔爸爸， 他违背了父意， 不去学法律， 而是在欧洲到处旅行。 回到法国时， 父亲去世， 留给他一笔巨额遗产， 他买下一片庄园， 从此衣食无忧， 开始研究数学， 特别是概率， 对雅各布的工作极感兴趣。 1710 年， 他对约翰表示， 愿意自己出资出版《猜度术》， 或者至少能获准看一看其中的第四部分。 他想从中获得一些灵感， 在再版《博弈分析》时对其中的内容做些补充。
尼古拉找到雅各布以前的学生、正在意大利古城帕多瓦 (Padua) 任教的赫尔曼 (Jakob Hermann， 1678-1733)， 两人一起对雅各布的大儿子仔细解释了事情的紧迫性: 再不出书， 父亲几十年的努力就要付诸东流了!
雅各布的家庭最终同意把书稿付印， 但仍然不许约翰和尼古拉接近原稿。 他们先是找到一位律师负责出版事务， 后来又换成一位失去工作的神职人员， 这两个人都对书稿的内容一无所知。
1713年5月， 法国数学家法里农(Pierre Varignon， 1654-1722)再次向约翰和尼古拉呼吁: 在《猜度术》即将出版之前帮一把吧！尼古拉犹犹豫豫地答应了， 列出一长串勘误， 并写了前言， 其中解释了《猜度术》之所以一误再误的原因。 这本不朽之作终于出版了 (见图 10.4)。
JACOBI BERNOULLI， Profell. Bafil. & utriufque Societ. Reg. Scientiar. Gall. & Pruff， Sodal. Mathematici Celeberrimi， ARS CONJECTANDI， OPUS POSTHUMUM. Accelit TRACTATUS DE SERIEBUS INFINITIS， EtExtstotAGallicè féripta DE LUDO PILE RETICULARIS BASILEE， Impenfis THUR NISI OR UM， Fratrum. CID Loc XIII.
图 10.4 1713 年巴塞尔出版的《猜度术》的封面。
德蒙莫尔想把自己的《博弈分析》 的补充版尽量赶在《猜度术》面世之前出版， 但没有成功。 1714 年， 当他的补充版出版时， 比第一版厚了一倍， 不过书的内容还是各种游戏。 德蒙莫尔似乎没有看到概率理论对社会的各种复杂事物的应用前景。
当然， 真正能把这类理论应用到雅各布考虑的广泛领域里， 还需要统计概率和归纳概率理论的进一步发展。 不过这是后面的故事了。
本章主要参考文献
Mattmuller， M. The difficult birth of stochastics: Jacob Bernoulli’s Ars Conjectandi (1713). Hisoria Mathematica， 2014， 41: 277-290.
Peiffer， J. Jacob Bernoulli， teacher and rival of his brother Johann. Electronic Journal for History of Probability and Statistics， 2016， 2: 1-22.
Rivadulla Rodríguez， A. On the relevance of Bernoulli’s theorem for the theory of statistical inference. English version of the original “El significado del teorema de Bernoulli para la teoría de la inferencia estadística”. Revista de Filosofía， 1997， 17: 69-82.