第四章 从羊拐到骰子

第四章 从羊拐到骰子

卢比孔河 (Rubicone) 是意大利北部一条小得可怜的河流， 只有 29 公里长。 它发源于亚平宁山脉 (The Apennines)， 流经艾米利亚-罗马涅 (Emilia-Romagna) 大区的南部， 最终进入亚德里亚海。 在罗马共和国时期(公元前509一公元前27)， 卢比孔河非常有名， 因为它是国家北部的边界， 越过这条河就进入山南高卢地区， 那里的高卢人 (Gaul) 一直以罗马为敌。 所谓 “山南” 指的是阿尔卑斯山以南。 高卢人占有山北的大片土地， 也就是今天的法国大部地区。 公元前 60 年， 恺撒(Gaius Julius Caesar， 公元前 100 一公元前 44 )当选为共和国执政官。 不久， 他发动了高卢战争， 历时 9 年， 终于吞并了那里所有的土地， 并把自己任命为高卢总督。 留在罗马治理共和国的庞培 (Gnaeus Pompeius Magnus， 公元前 106一公元前 48) 对恺撒势如中天的声望深感不安， 促使罗马元老院发出召还令， 命恺撒回罗马。 恺撒表示希望延长高卢总督的任期， 元老院不但拒绝， 还发出最终通告， 表示如果恺撒不立刻返回罗马， 元老院将宣布他为国家的敌人。 于是在公元前 45 年 1 月 10 日， 恺撒带领他的第 13 军团来到卢比孔河畔。 当时的罗马法律规定， 没有元老院的命令， 任何指挥官皆不得私自带领军队渡过卢比孔河， 否则以叛国罪处理。 阳光下铠甲闪烁， 寒风中旌旗猎猎， 战马跃跃欲奔， 官兵鼓噪喧哗。 马背上的恺撒身披紫袍， 说出了一句流传后世的名言:“Alea iacta est”。 从字面上， 这句拉丁文是说 “骰子已被掷下”， 它的真正意思是木已成舟， 没有反悔的机会了。 庞培和元老院都没有想到恺撒竟敢冒 “叛国罪” 的恶名而进军， 事到临头， 完全没有能力抵挡， 庞培只能带着家眷逃离意大利半岛。 于是， 恺撒兵不血刃进入罗马， 马上要求元老院议员 “选举” 他为独裁官。 23年后， 他的养子屋大维 (Gaius Octavius Augustus， 公元前 63一公元 14)正式成为罗马皇帝， 结束了罗马共和国将近 500 年的历史。

这个故事告诉我们， 早在古罗马时期， 骰子就已经相当普遍了。 图 4.1 是一套出土的古罗马铅制骰子。 我们知道， 罗马人使用很多铅制品， 因为铅的熔点低， 而且较软， 容易铸造成各种形状。 但对普通老百姓来说， 这种骰子是很奢侈的， 普通大众也喜欢赌博游戏， 但他们用的是羊拐。

我小的时候， 羊拐是北京女孩子们非常普遍的游戏。 所谓羊拐， 是羊的距骨， 也就是后腿髁部与小腿骨关节处的一块骨头， 位于足跟骨的上方。 距骨不附着在任何肌肉上， 所以在饭馆买个羊蹄儿， 啃完了皮肉之后， 羊拐很容易就剥离下来了。 羊拐的形状很有意思 (如图 4.2)。 两个较大的面， 一面中心凸起， 北京孩子们称为 “肚儿”；一面中心凹下， 叫做 “坑儿”。 两个较长的侧面也比较平整， 一面有点像耳朵， 所以叫 “耳儿”(也叫“轮儿”)；另一面则叫做“针儿”(或者“真儿”)。 另外两个侧面相对短而且圆滑， 很难站立得住。 所以， 把羊拐投到平地上， 可以有四种不同的着地方式。 没有羊拐的时候， 猪拐也可以凑合， 但是形状没有羊拐那么规整。

北京女孩儿们玩的游戏， 需要一套羊拐四只， 外加沙包一个。 玩的时候， 一个人先用一只手把羊拐撒到桌面或者平整的石头台阶上， 然后用同一只手扔起沙包， 趁沙包还在空中的时候， 用同一只手把羊拐翻成 “耳儿” 朝上， 然后接住沙包。 等到四只羊拐都是 “耳儿” 朝上了， 再把它们用同样的方法都翻成 “针儿”， 然后是 “坑儿” 和 “肚儿”。 四种位置都完成以后， 扔起沙包， 一次把四只羊拐全都抓在手里， 然后接住沙包。 整个过程只能用同一只手完成， 中间出现失误， 比如羊拐没翻过来或者没接住沙包， 就必须把机会转给下一家。 谁第一个完成全部过程， 谁就算赢。

图 4.2 羊拐的四个面， 从左到右， 朝上的面分别是耳儿、针儿、肚儿、坑儿。

还有一种玩法是计分。 把四只羊拐撒到平面上， 看出现哪些 “面儿”。 不同的面儿对应不同的分儿， 谁的分儿高谁就算赢。 具体分儿是怎么算的， 我已经记不得了。

在北京， 这个游戏叫做欻(chua， 3声)羊拐， 欻大概是急促抓的意思吧。 这是锻炼孩子眼手配合、动作灵敏性的游戏。 那时候， 北京的女孩子都以拥有一套摸得光滑明亮的羊拐为傲， 有点像今天拥有一部高级的手机。

据说很多地方都有这样的游戏。 在河北省， 羊拐叫做骨头子儿。 在东北， 叫做 “嘎拉哈”， 可能是满语吧。 新疆也有这种游戏， 叫“阿斯克”。

后来我才知道， 羊拐是人类最早的游戏骰子， 早在公元前 3500 年的古巴比伦和古埃及时代， 人们就以 “欻” 羊拐作为游戏， 甚至用来赌博了。 这类赌博游戏一直流传到古希腊和古罗马。 图 4.3 是一尊古罗马雕塑的照片， 一个女孩在玩投羊拐的游戏。

在古希腊文里， 羊拐被称为tessera(对应的希腊字母是 $\tau \epsilon \sigma \sigma \epsilon \rho \alpha$ )， 它的字根是数字四， 很可能指的就是羊拐的四个面。 在古希腊时期(公元前 5 世纪到公元前 3 世纪)， 古希腊人热衷于一种名叫博来斯多博林达 (Pleistobolinda) 的游戏。 一般认为， 对应羊拐四个面的得分数是这样安排的:“肚儿” ——4；“坑儿” —— 3；“针儿”——1；“耳儿”——6。 分数 2 和 5 不用， 估计是对应了剩下的两个最不平坦的面， 而羊拐一般在这两个面上是站不住的。 这很有点像北京女孩儿的计分游戏。

罗马征服希腊以后， 羊拐游戏开始在欧洲变得非常流行。 无论男女老幼， 上至王公大臣， 下至贩夫走卒

图 4.3 玩羊拐的女孩。 古罗马雕塑 (约作于公元 130-150 年)， 现存德国柏林著名的佩加蒙博物馆。

史苑撷英

农神节 (Saturnalia) 是古罗马在年底为祭祀农神萨图尔努斯 (Saturnus) 的大型节日。 这个名字后来被用来命名土星 (Saturn)。 农神节一般在 12 月 17 日至 12 月 24 日之间举办。 主要的活动是在古罗马广场的农神庙里由罗马皇帝主持隆重的祭祀活动。 其他活动包括农神庙的兽祭， 广场上举行大型公共宴会及游乐， 互相馈赠礼品。 一些历史学家认为罗马帝国基督化以后， 农神节的许多习俗被转用于圣诞节。 例如圣诞树可能来自农神节的丰收树。 甚至奴隶， 无人不玩。 它太流行了， 以至于罗马皇帝颁布法令， 除了农神节以外， 其他时间禁止羊拐游戏。 但是这个禁令显然没有什么效果， 因为从历史文献来看， 禁令每隔几年就颁布一次， 显然没人把它当回事。

禁而不止的最主要原因恐怕是因为皇宫里的人们太喜欢这游戏了。 罗马历史学家苏埃托尼乌斯 (Gaius Suetonius Tranquillus， 约 75-135) 在 《罗马十二帝王传》里记载了当时罗马皇帝沉迷于羊拐游戏的情况。 比如关于罗马帝国的开国君主屋大维， 苏埃托尼乌斯是这样描述被称为奥古斯都 (神圣、至圣)的罗马大帝是如何迷恋羊拐游戏的:

他(指奥古斯都)一点也不在乎落下嗜赌的名声。 即使是在晚年， 他仍然在公开场合用赌博自娱。 不单是在十二月份(指农神节期间)， 其他节日甚至工作日， 他都无所禁忌。 这是毫无疑问的， 因为在一封他的亲笔信里， 他曾经这样写道:“亲爱的提贝里乌斯， 我和一群人宴饮；从昨天到今天， 我们边吃喝边赌博， 就像老头儿们一样。 无论是谁， 要是扔出的羊拐显示出 ‘狗’或者六， 就必须把一枚罗马银

币放到那只羊拐前面的硬币堆里。 谁要是扔出一个‘维纳斯’， 谁就把那堆银币全赢走。 ”

奥古斯都这封信是写给他的皇位继承人提贝里乌斯·尼禄 (Tiberius Claudius Nero， 公元前42一公元37)的， 后者以残虐和好色而著名。 在同一封信中， 奥古斯都还说， 他随信送给提贝里乌斯 250 枚罗马银币， 以供他在消遣和宴饮的时候赌博用。

苏埃托尼乌斯还提到另一位提贝里乌斯， 也就是罗马皇帝克劳狄 (Tiberius Claudius Caesar Augustus Germanicus， 公元前 10一公元54)， 说他对羊拐赌博甚为精通， 甚至写了一本书论述赌博的 “艺术”。 他对羊拐游戏如此痴迷， 以至于让人在他的马车里安装了投掷羊拐的板子。 这样， 即使是在行军打仗的途中， 他照样可以玩赌博的游戏。

羊拐也被用来求神问卜。 在小亚细亚的一些古希腊城邦的神庙里， 人们利用五只羊拐来问卜。 每只羊拐的四个面同样被赋予 1、3、4、6 四个点数， 占卜的时候， 祭司先走进神庙， 把想求的事情大声对神明宣讲出来， 然后把五只羊拐同时丢到石头祭坛的桌面上。 羊拐出现的点数的总和决定了由哪一位神来回复祭司的祈求。 《游戏、上帝、赌博》(Games， God， and Gambling) 的作者、女统计学家戴维 (Florence Nightingale David， 1909一1993) 告诉我们， 总点数与古希腊的众多神祇有明确的关系， 通过这些关系， 祭司们试图预测未来。 比如表 4.1 给出了四个神祇所对应的点数。

表 4.1 小亚细亚神庙用羊拐占卜的四个结果及其对应的神祇

五只羊拐分别的点数	点数的总和	对应的神祇
1、3、3、4、4	15	宙斯 (Zeus)
6、3、3、3、3	18	柯罗诺斯(Chronos)
6、4、4、4、4	22	波塞冬(Poseidon)
4、4、4、6、6	24	克洛努斯(Cronus)

与每一位神祇对应的， 还有一段签语， 使得整个过程有点像中国寺庙里的抽签。 通过签语我们可以看到不同结果的好与坏。

对应宇宙之神宙斯的签语是:“你所祈祷的事情， 勇敢地去做吧。 神祝福你， 邪恶不会降临到你头上。 ” 这是上签。

图 4.4 克洛努斯是古希腊神话中第一代泰坦十二神的领袖， 也是其中最年轻的。 他是天空之神乌拉诺斯和大地之神盖娅的儿子。 他推翻了父亲乌拉诺斯的残暴统治并且领导了西卡神话中的黄金时代。 克洛努斯和盖亚结婚后， 他怕权力被后代所取代， 竟然把自己的孩子都吞食了， 只有宙斯得以幸免。 后来， 宙斯推翻了克洛努斯， 并把第一代泰坦神关押在地底的塔耳塔罗斯之中， 可是克洛努斯却逃走了。 这幅油画是比利时著名画家彼得·保罗·鲁本斯(Peter Paul Rubens， 1577-1640) 的作品。

对应时间之神柯罗诺斯的签语是:“神反对急躁。 等待你的时间。 静静地展开你的方案， 它们将会成功。 ” 这是中签。

对应海神波塞冬的签语是:“把种子丢进海里， 写下文字， 这些都是空忙。 你是个凡人， 对神施暴只会损伤自身。 ” 这也是中签。

对应宙斯的父亲、吞食自己亲生骨肉的克洛努斯 (图 4.4) 的签语是:“躲在你的屋子里， 不要去任何地方， 否则一只凶猛伤人的野兽会接近你。 我看不到安全。 耐心等你的时间吧。 ” 这显然是下签了。

可是， 为什么赋予这些神祇如此的点数呢? 古希腊、古罗马人从来没有问过这样的问题: 羊拐的四个面出现的概率是怎样的? 但表 4.1 中的点数似乎也不是胡乱送给每一位神祇的。 也许是通过长时间的观察， 经过不断调整， 最终才确定下来的。

利用概率知识， 我们可以自己做一个分析。

由于羊拐的特殊形状， 出现1、3、 4、6四个面的概率不会相等。 这就给分析投掷的概率带来困难。 仿照第一章里大量投掷观察的办法， 我们可以估计出现每个面的概率。 大致来说， 每投 10 次， 出现 3 和 4 的机会是 4， 出现 1 和 6 的机会 1。 换句话说， 出现 3 和 4 的概率是 $4/10=0.4$， 出现 1 和 6 的概率是 $1/10=0.1$。

我们先从四只羊拐的情况入手， 因为这是古罗马游戏经常使用的数目。 如果四只羊拐完全相同， 通过上面四个点数的出现概率， 很容易给出不同分数出现的概率 (见表 4.2)。

表 4.2 投掷四只羊拐可能出现的分数以及相应的概率

(A) 具有相等概率的投 掷结果	(B) 每个结果所对应的概率	(C) 重复率	最终概率 $= \left( \mathrm{B}\right) \times \left( \mathrm{C}\right)$
${\left( 1\right) }^{4}， {\left( 6\right) }^{4}$	${\left( 1/{10}\right) }^{4}$	1	0.000 1
${\left( 3\right) }^{4}， {\left( 4\right) }^{4}$	${\left( 4/{10}\right) }^{4}$	1	0.025 6
${\left( 1\right) }^{3}{\left( 3\right) }^{1}， {\left( 1\right) }^{3}{\left( 4\right) }^{1}， $ ${\left( 6\right) }^{3}{\left( 3\right) }^{1}， {\left( 6\right) }^{3}{\left( 4\right) }^{1}$	${\left( 1/{10}\right) }^{3} \times \left( {4/{10}}\right)$	4	0.001 6
${\left( 3\right) }^{3}{\left( 1\right) }^{1}， {\left( 3\right) }^{3}{\left( 6\right) }^{1}， $ ${\left( 4\right) }^{3}{\left( 1\right) }^{1}， {\left( 4\right) }^{3}{\left( 6\right) }^{1}$	${\left( 4/{10}\right) }^{3} \times \left( {1/{10}}\right)$	4	0.025 6
${\left( 1\right) }^{3}{\left( 6\right) }^{1}， {\left( 6\right) }^{3}{\left( 1\right) }^{1}$	${\left( 1/{10}\right) }^{4}$	${\mathrm{P}}_{4}^{1} = 4$	0.000 4
${\left( 3\right) }^{3}{\left( 4\right) }^{1}， {\left( 4\right) }^{3}{\left( 3\right) }^{1}$	${\left( 4/{10}\right) }^{3} \times \left( {4/{10}}\right)$	${\mathrm{P}}_{4}^{1} = 4$	0.1024
${\left( 1\right) }^{2}{\left( 3\right) }^{2}， {\left( 1\right) }^{2}{\left( 4\right) }^{2}， $ ${\left( 6\right) }^{2}{\left( 3\right) }^{2}， {\left( 6\right) }^{2}{\left( 4\right) }^{2}$	${\left( 1/{10}\right) }^{2} \times {\left( 4/{10}\right) }^{2}$	${\mathrm{P}}_{4}^{2}/2 = 6$	0.009 6
${\left( 3\right) }^{2}{\left( 4\right) }^{2}$	${\left( 4/{10}\right) }^{4}$	${\mathrm{P}}_{4}^{2}/2 = 6$	0.1536
${\left( 1\right) }^{2}{\left( 6\right) }^{2}$	${\left( 1/{10}\right) }^{4}$	${\mathrm{P}}_{4}^{2}/2 = 6$	0.000 6
${\left( 1\right) }^{2}\left( 3\right) \left( 4\right)， {\left( 6\right) }^{2}\left( 3\right) \left( 4\right)$	${\left( 1/{10}\right) }^{2} \times \left( {4/{10}}\right) \times \left( {4/{10}}\right)$	${\mathrm{P}}_{4}/2 = {12}$	0.0192
${\left( 3\right) }^{2}\left( 1\right) \left( 6\right)， {\left( 4\right) }^{2}\left( 1\right) \left( 6\right)$	${\left( 4/{10}\right) }^{2} \times \left( {1/{10}}\right) \times \left( {1/{10}}\right)$	${\mathrm{P}}_{4}^{3}/2 = {12}$	0.0192
${\left( 3\right) }^{2}\left( 1\right) \left( 4\right)， {\left( 3\right) }^{2}\left( 6\right) \left( 4\right)， $ ${\left( 4\right) }^{2}\left( 1\right) \left( 3\right)， {\left( 4\right) }^{2}\left( 6\right) \left( 3\right)$	${\left( 4/{10}\right) }^{2} \times \left( {1/{10}}\right) \times \left( {4/{10}}\right)$	${\mathrm{P}}_{4}^{3}/2 = {12}$	0.076 8
${\left( 1\right) }^{2}\left( 6\right) \left( 3\right)， {\left( 1\right) }^{2}\left( 6\right) \left( 4\right)， $ ${\left( 6\right) }^{2}\left( 1\right) \left( 3\right)， {\left( 6\right) }^{2}\left( 1\right) \left( 4\right)$	${\left( 1/{10}\right) }^{2} \times \left( {1/{10}}\right) \times \left( {4/{10}}\right)$	${\mathrm{P}}_{4}^{3}/2 = {12}$	0.004 8
(1)(6)(3)(4)	$\left( {1/{10}}\right) \times \left( {1/{10}}\right) \times \left( {4/{10}}\right) \times \left( {4/{10}}\right)$	${\mathrm{P}}_{4}^{4} = {24}$	0.038 4

这张表格看上去复杂， 实际上很简单， 而且值得花几分钟时间仔细看一下， 因为这对了解概率分析会有帮助。

在分析古典概率的时候， 要做的第一件事情是把问题当中将会出现的情况的所有可能性都找到。 这需要组合数学， 也就是排列和组合的知识。 在表 4.2 里， (A)列就是组合分析的结果。 这里括号内的数字是投一次羊拐得到的点数， 括号外面的幂指数表示得到该点数的次数。 一旦我们确定所有的可能性都找到了， 那么计算不同结果的概率就是简单的算术问题。

从第一章我们已经知道， 如果一次投掷硬币的概率是 $1/2$， 那么连续投掷硬币出现同一个面的概率就是 ${\left(1/2\right)}^n$。 同理， 投一次羊拐出现 3 或 4 的概率是 $4/10$， 连续投 $n$ 次总是出现 3 或 4 的概率就是 ${\left(4/10\right)}^n$， 而连续投 $n$ 次出现 1 或 6 的概率就是 ${\left(1/10\right)}^n$。 这里， 与投掷硬币不同的仅仅是 3、4 和 1、6 出现的概率不一样， 所以必须把它们分开来考虑。

表 4.2 中的 (B) 列给出对应于每种可能性的概率。 (C) 列给出相对于给定的概率的所有可能的数目， 这需要使用排列的知识。 比如， 投掷4次出现4个相同分数的可能性是唯一的， 所以可能的数目等于 1。 出现 3 个相同分数的排列数和 1 个不同的数的可能性则有 4 个， 这是因为那个不同的数可以有 4 个不同的顺序出现， 比如 3、1、1、1； $1\text{、}3\text{、}1\text{、}1;1\text{、}1\text{、}3\text{、}1;1\text{、}1\text{、}1\text{、}3$。 其余的照同理推断。

表 4.2 中的 4 个 1 的结果就是奥古斯都在信里提到的 “狗”。 这是一个很不幸运的数， 不过幸亏它出现的概率只有 0.0001。 而 “维纳斯” 对应的是 1、 6、3、4， 其概率 0.0384比 “狗” 要高得多了。

现在再看五只羊拐的问题， 也就是古希腊人求神问卜的羊拐数目。 概率的计算方法和四只羊拐的情况相同， 只是这里又多了一只羊拐， 计算起来更麻烦一点而已。 结果在表 4.3 的最右面一列。 上签 (宙斯) 的概率最高， 将近 8%; 下签 (克洛努斯) 最低， 0.6%；中签(波塞冬和柯罗诺斯)的概率相等(1.3%)， 在中间。

表 4.3 小亚细亚神庙用羊拐占卜的四个结果及其对应的神祇

五只羊拐分别的点数	点数的总和	对应的神祇	相应的概率
1、3、3、4、4	15	宙斯	0.077
6、3、3、3、3	18	柯罗诺斯	0.013
6、4、4、4、4	22	波塞冬	0.013
4、4、4、6、6	24	克洛努斯	0.006

我们不妨猜测， 祭司们通过大量投掷骰子， 对不同的点数组合出现的机会有了一个经验的了解。 虽然他们不懂概率， 但他们知道， 总是要给人一点希望。 以求神问卜为职业的祭司们当然不愿意把下签送给多数来求签的人群——老是没有希望， 大伙儿就不来了。

随着人们对几何形状认识的提高， 赌博的工具从羊拐发展到立方体的骰子。 早期的骰子是用动物骨头磨制的。 目前考古学研究出土的最早的骰子是在伊朗东南部， 距今已有差不多 5000 年了。 立方体的骰子有六个面， 每个面上标上数目不同的点子， 通常是从 1 到 6。 玩游戏者把它投到一块平板上， 等到骰子静止后， 朝上那一面上的点数就对应于该投掷者的得分。 由于立方体的对称性， 每个面出现的概率至少从理论上说是一样的， 都是 1/6， 所以计算概率比羊拐要方便很多。

骰子一直到现在仍然被广泛地用在求神问卜上面。 一个典型的西方问卜过程大致是这样的:算卜人在桌面或地面上画一个圆， 大致有 20 厘米的直径。 有的算卜人有一块事先准备好的方巾， 上面已经画好了圆， 把它铺在地面即可。 问卜者把想要占卜的事情告诉算卜人， 算卜人把三枚骰子同时投入圆圈。 如果有一枚骰子落到圈外， 这意味着对于问卜的事情， 未来有很多困难。 两枚落到圈外， 意味着事情将有很多争论和口角。 如果三枚都落到圈外， 意味着事情的进展将很顺利， 不必继续占卜了。

然后， 计算落在圈内的骰子所显示的点数。 如果总点数在 1 和 2 之间， 这意味着没有答案， 最好过两天再来问卜。 3点， 情况即将发生变化。 4点， 争论、误解、不快的事情将会发生。 5 点， 预料不到的惊喜， 你的计划和希望会得到满足。 6 点， 可能会有钱财、物件或者人际关系上的损失。 7点， 可能有困境， 如谣言诽谤， 但它们最终会得到解决。 8 点， 不要急于行动， 盲目行动会造成不幸。 9 点， 感情上有结合的可能， 或事业上有合作的可能; 在爱情和赌博上会成功。 10 点， 新的开始; 可能是新生婴儿， 或是新的工作， 或者提职。 11点， 可能失去亲人， 短期病痛；也可能是离开的亲人即将返回。 12点， 重要的信息即将到来; 如果跟法律有关最好咨询专业人士， 有可能发一大笔财。 13点， 按照目前的方向继续会导致困境。 14点， 你的朋友或亲人会伸出援手；也许会有桃花运。 15点， 小心前行， 避免开始新的项目；不要卷入流言和小道消息。 16点， 一次小小旅行会带来缓解、娱乐和可能的收获。 17 点， 前景有变， 需要调整计划; 注意聆听他人的劝告， 即使是陌生人。 18 点， 运气来了! 你会达到目的， 圆满结束。

还有一些禁忌。 比如星期一和星期三不能占卜; 同一个人在一天之内不能占卜超过三次等等。

这些故事显示， 人们对投骰子得到的无法预测的结果感到畏惧和好奇。 似乎骰子后面有一种神秘的力量， 在利用这些结果向我们预示着什么。 几千年来， 人们一直抱着这样的心态， 所以对骰子的本质的了解没有什么进展， 直到 16 世纪。 那么， 是什么促成了对骰子游戏的概率论的理解呢? 我们后面再谈。

本章主要参考文献

David， F. N. Games， Gods， and Gambling， The origins and history of probability and statistical ideas from the earliest times to the Newtonian era. New York: Hafner Publishing Company， 1962: 275.