黄昏即将降临， 最后一抹金色的阳光斜照在精致的城堡上， 红砖蓝瓦熠熠生辉， 宛如神话世界。 城堡的四面都是几何图案构筑的花坛， 五颜六色的鲜花在夕阳下争放异彩。 这些花坛整体构成一个正方形， 正方形的外侧， 是碧绿的树林， 树林构成一个更大的正方形。 整个建筑群被一圈还没有完成的围墙包围着。
花园正中的城堡分为三层。 中间一层的中间是个大厅， 高大的落地窗前摆满了奇形怪状的天文仪器。 有个高大的男人正在一个巨大的球状设备旁边忙碌着。 男人鼻子下面留着两撇极长的八字胡须， 几乎挂到胸前。 更为奇怪的是他的鼻子， 那是一个金属制作的鼻子， 在夕阳的余晖之下金光闪闪， 刺人眼目。 这个人就是第谷·布拉赫 (Tycho Brahe， 1546-1601)， 丹麦著名的天文学家。 虽然历史上的名人通常都是用姓来称呼的， 但他是个例外。 第谷的名字在世界天文界无人不晓。 另外一个例外是伽利略·伽利雷。
这是 1580 年的一天， 第谷刚刚成功地制造了一台直径接近两米的球状天体仪(图 23.1)。 他正在把最近观测到的天体的位置小心地刻在球体上面。 球体上有两个圆环， 用来量度赤经和赤纬的度数。 利用赤经和赤纬， 任何天体在天空的位置都可以在天体仪上准确地表达出来。
图23.1 第谷在 1580 年制作的记录天体位置的天体仪。 在这个天体仪上， 第谷精确地记录了 1000 颗恒星的位置。
从古代起直到 18 世纪， 天文学一直是最先进、最重要的应用数学领域。 天文学观测得到的观测数据， 用来建立宇宙模型， 而模型的参数又通过更多更新的观测数据来进行修正， 以得到更好的模型。 天文学是以模型参数来拟合观测的最早的科学研究实例， 所以， 天文学家是最早的数学统计学者。 天文学所面临的科学问题逐渐引出了算术平均值的原理以及一系列估计模型参数值的方法， 最终导致后来最小二乘法的建立。
第谷是最后一位依靠肉眼观测星体的天文学家。 他的一生丰富多彩， 离奇古怪， 完全不是一般人以为的那种枯燥无趣的科学家人生。 第谷在出生的第二年， 被亲叔父和婶婶偷走。 他的叔父婶婶没有子女， 而亲生父母则生了 12 个孩子， 第谷排行第二。 不知道这是不是丹麦当时的习俗， 反正第谷的亲父母顺水推舟， 把儿子送给了弟弟和弟媳。
第谷出身于一个同王室关系密切的贵族家庭， 极为富有。 16岁时， 他离开叔父位于哥本哈根的宫殿， 跑到德国的莱比锡大学读书。 一个偶然的机会， 他发现当时通用的星图中有个错误:土星和木星之间缺少了一个合体位置 (conjunction， 也称最小角距， 就是两颗行星在地球上看去重合的位置)。 对于依靠天体重合来解释天象的皇家宫廷来说， 是一个很严重的错误。 他后来回忆说:“我研究过所有现存的星表， 在它们当中没有两个是完全相同的。 用来测量天体的方法简直如同天文学家人数那么多， 而每一个天文学家都反对别人的观点。 现在需要的是一个长期的、从同一个地点进行的测量计划， 以便系统地测量整个天球。 ”
从那时起， 17 岁的第谷就决定要把一生献给天文观测。 他为自己设定了一个极为宏伟的目标， 要用最准确的观测来确定天体的位置， 为验证和修改当时流行的天体模型提供坚实的基础。 而当时的主要天体模型有两个， 一是古代托勒密 (拉丁文: Claudius Ptolemaeus; 英文: Claudius Ptolemy， 约90-168) 的地心说， 一是哥白尼不久前提出的日心说。
20 岁的时候， 他失去了鼻子。 起因听起来很无辜: 他和一位贵族青年争论某个数学公式的正确表达， 双方都认为自己是对的。 争到最后， 理智让位给情绪， 二人决定用决斗的方式来判断对错， 结果第谷被人家削去了鼻子。 从那以后， 他总是戴着一个合金制作的假鼻子。 他有好几只鼻子可以选择， 有铜的， 有银的， 还有金的， 不同的场合戴不同的鼻子 (图 23.2)。
图23.2 第谷·布拉赫肖像。 作者恩德 (Eduard Ender， 1822-1887)。 画像中第谷的假鼻子肯定是经过美化了， 但是还能看出一些痕迹来。
回到丹麦以后， 第谷继续每夜观察星空。 夜幕中， 那些在常人眼里杂乱无章的小亮点， 在他脑海中是一张完整的星图。 1572 年 11 月 11 日深夜， 第谷完成观测， 回家去吃很晚的晚饭。 他偶然抬起头来， 发现仙后座附近有一颗耀眼的星星。 按照心中的星图， 那里不该有很亮的星星。 第谷不敢相信自己的眼睛。 以当时的天文学理论， 天上星星是上帝安置的， 数目确定不变， 不可能随随便便冒出个新星来。 第谷让随行的仆人们帮助他确认， 所有人都肯定说， 看到了那个亮点儿。 回到家里， 他顾不得吃完饭， 马上利用家中的观测设备进行观察。 在仔细地考察了亮点相对于其他已知天体的运动之后， 他断定， 这是一颗新星， 而它同地球的距离远到无法估计。
第谷发现的是一颗超级新星， 现在我们把它称为第谷超新星， 或者根据发现年代， 叫作 SN1572。 它是一颗白矮星， 质量密度极高， 因而引力场很强。 在从其他伴星那里获得更多的质量以后， 因密度超过了钱德拉塞卡极限 (Chandrasekhar Limit) 而爆炸， 在瞬间产生极强的冲击波和光。 两年以后， 星光衰减到很难再看见了， 可是它产生的冲击波直到今天仍以大约每秒数千公里的速度向外扩张。
从另外一个角度， 也可以说是新星发现了第谷。 他的发现震惊了世界， 丹麦国王竟然决定花费丹麦全国年收入的1%为他在文岛 (Hven) 上建立了我们在本章开头时提到的天文观测台 (图 23.3)。 第谷用古希腊掌管天文的女神乌拉尼亚 (Urania) 的名字命名宫殿式的天文台， 称它为乌拉尼城堡 (Uraniborg)。 在这里， 他不断地设计更新和建造更大、更精确的观测设备。 为了避免风力、温度及其他外界因素的扰动， 他把设备都安装在坚实的基础之上， 甚至还建设了一个地下观测台。 他定期检查并相互校定不同的仪器， 以便控制系统误差。 他训练了几十个助手， 让他们各自在相同的时间独
图23.3
左图: 根据第谷1598年的著作《天文机械更新》(拉丁文: Astronomize Instauratae Mechanica)复制的天文观测站平面图。 主楼城堡在正中间。 四方形花园的四个角是按照正东正西、正南、正北方向设计的， 以便于夜间观测星辰。
右图:城堡的细节。 这是第谷自己设计的、威尼斯风格的建筑。 可惜这个观测站后来被毁掉了。
立观测同一天文现象， 然后互相检查结果。 他开创了一个史无前例的庞大天文观测方案:对每一个天体， 有规律地反复观测， 长达 25 年。 用现代科学的语言来说， 他是在利用测量仪器、观测者和时间三类变量之间的变化来控制系统误差和随机误差。 他的方法为其他观测台以及后来的科学实验室提供了全新的运作模式。
从 1580 年起， 15 年的时间里， 他在这座豪华的天文台对一千颗星星进行了观测， 收集了大量数据。 在多数情况下， 星体位置的赤经纬度误差不超过 2 分的角度， 也就是 1/30 度。 他选出了 9 颗参考星体， 其中 8 颗星体的经纬度误差在 1 分以内。 对于一个用肉眼观测星体的天文学家来说， 这种准确程度是相当惊人的。
除了观测站环境因素的影响， 天体位置的确定还受到视差和大气层折射的影响， 这些影响给确定天体位置造成系统误差。 换句话说， 同一个观测站的所有观测数据都受到类似的影响， 而对其他地理位置不同的观测站来说， 影响是不一样的。
作为例子， 我们看一下第谷对白羊座 星 (中文叫娄宿三) 的观测。 从地球上观察， 太阳相对于地球沿着黄道运行， 在春分和秋分时刻与地球的赤道相交。 在古代天文观测的天球上， 太阳运行的黄道与地球赤道的交点就落在白羊星座附近， 而白羊星座当中以娄宿三最为明亮。 为了准确地确定娄宿三的赤经， 第谷采取成对观测的方式。 每一对观测点的位置相互对称， 它们的系统误差一正一负。 这样， 如果它们具有相同的系统误差， 把它们加起来再做平均， 误差就在相加的过程中抵消了。 从 1582 年到 1588 年， 他采集了 12 对这样的数据。 根据这些数据， 他确定白羊座 星的赤经为 ， 对比现代天文学的结果 ， 第谷用肉眼观测的精度真是很惊人的。 他把细心安排的测量结果和算术平均的分析手段相结合， 最大限度地减小系统误差， 然后采用选取诸个测量数据中间值的方法来减小随机误差， 这是典型的现代科学分析过程， 但是要到 18 世纪以后才被人们所广泛采纳。
作为一个特立独行的人， 很难用现代科学家的标准形象来描述第谷。 他恐怕是全丹麦除了国王以外最为富有的人， 同家人一起生活在宫殿般的观测站里， 过着帝王式的生活。 他甚至豢养了一个他认为具有神秘能力的侏儒小丑， 专门逗笑取乐。 每天晚饭时， 小丑在饭桌下跑来跑去。 他还养了一头宠物麋鹿， 可以随意进出城堡。 可是有一天， 他带着宠物麋鹿去访问朋友， 两个人喝啤酒的时候， 麋鹿不知怎么也喝醉了， 结果从楼梯上滚下去， 光荣牺牲。
第谷的精力极为旺盛， 除了每天夜里观测星体， 白天还在花园里研究植物， 在城堡三楼的小屋里琢磨炼金术和医治百病的神药。 他是丹麦王宫的御用天文学家和占星师， 同老国王弗雷德里克二世 (Frederick II， 1534-1588) 关系特别好。 可是老国王的儿子克里斯蒂安四世 (Christian IV， 1577-1648) 登基以后， 第谷的处境急转直下， 最后不得不远走他乡， 去了捷克。 有谣言说， 他和老国王的妻子、前丹麦王后关系暖昧。 就在这些谣言到处流传的当口， 第谷在布拉格参加了一个宴会， 回来后不久， 就不明不白地死了。 当时人们猜测他是被毒死的， 最大的怀疑对象是年轻的国王克里斯蒂安和第谷的助手开普勒(Johannes Kepler， 1571-1630)， 因为他们有作案动机。
第谷死去的前后， 莎士比亚 (William Shakespeare， 1564-1616) 恰好完成了杰作 《哈姆雷特》。 据传说， 莎士比亚的灵感就来自第谷与王后的轶事， 而且把故事安排在离乌拉尼城堡不远的丹麦皇宫里。 后来还有一位美国天文学家认为， 《哈姆雷特》的故事是曲折地影射当时两大天文学派的理论纷争。 第谷坚持地心说， 他把托勒密的古典模型根据自己的观测加以修正。 而哥白尼的日心说得到英国天文学家迪格斯 (Thomas Digges， 1546-1595) 的大力推崇和发展。 根据这位美国天文学家的“理论”， 《哈姆雷特》中的国王克劳迪(跟托勒密同名)与哈姆雷特的两个大学同学分别代表托勒密和第谷， 最终都在悲剧中死去; 而由哈姆雷特临死前建议担任未来丹麦国王的挪威王子福丁布拉斯 (Fortinbras) 从波兰的到来则代表了哥白尼理论的胜利。 这是一个非常有趣的新视角， 不过其中主观臆测的成分实在太多了。 顺便提一句， 哈姆雷特的这两位大学同学就是在斯托帕尔德的荒诞剧里投硬币连续得到 92 个正面的那两位 (故事见第一章)。
至于开普勒， 他之所以受到怀疑， 是因为第谷一死， 他马上就把第谷几十年积累的天文资料据为己有。 第谷离开丹麦以后， 在离布拉格不远一个小镇的旧城堡建设新天文观测站。 1600 年初， 开普勒到那里访问， 负责分析第谷对火星的观测资料。 第谷对保护自己资料的警觉性极高， 绝不轻易示人， 但他又对开普勒的数学能力感到惊讶， 所以慢慢地把越来越多的数据交给开普勒。 第谷有自己的太阳系的地心模型， 可开普勒相信哥白尼的日心说。 经过几番波折， 开普勒终于在 1601 年 9 月正式成为第谷一个宏大研究计划的合作伙伴， 为神圣罗马帝国皇帝鲁道夫二世 (Rudolf II， 1552-1612) 制作了一套新的星历表。 但俩人的合作刚刚开始一个月， 第谷就在 10 月 24 日去世了。 第谷去世的第三天， 开普勒就被任命为皇家天文学家， 负责接替第谷的工作。 这一连串的事件在有些人看来不是巧合， 认为开普勒有作案嫌疑。
2010 年， 科学家打开了第谷的坟墓， 对遗骨做了检测， 发现他的毛发中的金含量比正常人高了上百倍。 天然金的来源无法解释他体内这么高的含金量。 不过在 16 世纪， 贵族们喝掺有金片的葡萄酒是很普遍的， 那是富有的象征。 然而更可能的是， 在从事炼金术的过程中， 第谷有意地吞噬了什么含金的化学溶液。 无论如何， 有一点可以肯定， 第谷不是被人毒死的。 最大的可能是， 第谷在宴会上喝了太多的酒， 需要上厕所， 但是按照当时的风俗， 在国王面前离开餐桌是极不礼貌的行为， 第谷只好使劲憋着， 结果造成膀胱感染。 他死得极为痛苦， 在最后的 11 天里无法排出小便。 即使如此， 他还是口述了自己的墓志铭:“这个人活得像个圣人， 死得如同傻瓜。 ”
开普勒从上任那天起， 就开始了 11 年的辛勤工作， 这是他最为高产的时期。 他仔细分析第谷的精确观测数据， 发现了有名的开普勒三定律， 建立了自己的太阳系日心说模型， 并以此为基础编制星历表。 那时对数表刚刚问世， 使计算变得简洁而精确， 而且不易出错。 1623 年底， 星历表终于完成， 但开普勒却按住迟迟不肯发表。 制作星历表花了太多的精力进行计算， 开普勒说， 他需要一些时间作哲学上的思考。 同时作为皇帝的天象官， 他的主要工作是为宫廷解释天象。 1610 年， 听说伽利略利用自制的望远镜观察到了木星的卫星， 开普勒又开始研究望远镜的光学原理。 不久， 悲剧降临到家庭， 他的妻子和长子先后因病死去。 这还不算， 一个女人因为金钱上的纠纷诬告开普勒的母亲行使巫术， 这在当时的中欧是重罪。 开普勒的母亲被关进监牢， 受到逼供的刑法。 整整 14 个月， 开普勒四处奔走， 寻求法律帮助， 最后总算把母亲救出来了。 这些家庭危机使他难以把注意力集中在工作上面， 但他仍然抽出时间来， 把自己的研究结果写成一本书《世界的和谐》(拉丁文:Harmonices Mundi；英文:Harmony of the World)。
危机过后， 开普勒准备刊行他的星历表。 可是， 印刷需要大量经费。 为了讨还神圣罗马帝国宫廷的欠款， 开普勒又花费了大量的时间和精力。 鲁道夫当年允诺付给他 6299 枚金币， 但老皇帝已经去世 10 年了。 开普勒花了一年的时间， 只要回来 2000 枚金币， 这仅仅够印刷星历表的纸钱。 星历表付印的过程中， 第谷的亲属一再试图从出版物获得利润， 认为第谷的观测数据属于他们家族。 最终， 开普勒赢得星历表的控制权， 自行出资印制， 第谷家族没有从中得到任何利润。
1627 年， 星历表总算问世了。 开普勒把它呈献给斐迪南二世皇帝 (Ferdinand II， 1578-1637)， 但是仍以老皇帝的名字命名为鲁道夫星历表。 表中包括 1006 颗第谷精确测量位置的恒星， 400 多颗来自前人的数据， 以及记载太阳系行星位置的表格。 开普勒还准备了附录， 其中包含对数和反对数功能表， 以及计算行星位置的例子。 表中所有恒星的位置的精度都在 1 弧分以内， 而且首次考虑到大气层折射的修正因子。 这使得后人得以利用此表准确地预测 1631 年水星和 1639 年金星凌日的时间。 第谷的精确观测和开普勒的细心分析开启了现代科学数据分析的先河。
本章主要参考文献
Hald， A. A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Willey Series in Probability and Statistics. New York: John Wiley & Sons， Inc.， 1990: 586.