第二十五章 超新星离我们到底有多远?
意大利北部一月的夜晚， 天气十分寒冷。 帕多瓦 (Padua) 大学校园里寂静无声， 满天隐隐约约的星光映照着遍地白霜。
一条黑影从城堡式的建筑里飘出来， 穿过铺满白霜的草地， 进入校园中那座细高的塔楼。 这是一个 40 多岁的中年人， 左手秉烛， 右手紧握一个长筒状的东西， 身披青不青黑不黑的粗布披风， 披风的尖帽遮住了眼眉， 橘黄的烛光下只见满脸的胡须。 塔楼的楼梯盘旋而上， 十分陡峭。 他一步一步攀登着， 白雾般的哈气随着沉重的喘息从浓密的胡须中喷出来， 手中的蜡烛光摇曳不止。
来到顶楼， 他等不及喘息平稳便吹熄蜡烛， 举起沉甸甸的长筒， 朝着黑乎乎的空中望去， 满天细小的星星猛然变得巨大而明亮。 这人张大了嘴巴， 一面贪婪地看着， 一面不时地发出低沉的大呼小叫， 刺骨的寒风钻进单薄的风衣， 直入骨髓， 但他似乎全然不觉。
大约七八个月前， 这位数学教授开始研究制造手中这个其貌不扬的东西。 荷兰人早就懂得了凹凸镜的原理和制造技术， 用来制造眼镜片。 某位荷兰磨镜工偶然把两个镜片放到一起， 发现了奇特的放大功能， 马上注册了专利。 几个月后， 镜片的秘密被一个学生带到了帕多瓦大学， 教授马上动手制作， 用铅皮卷成筒子， 里面装上镜片。 第一个筒子能把物体放大九倍， 将观测者和被观测物之间的距离缩短到三分之一。 等到第三个筒子制造成功， 放大倍数已经增加到了一千。
从那时起连续好几个月， 只要天气晴朗， 他必定会于天黑后出现在塔楼上， 端着那长长的筒子朝天空观望。 他很久没能睡个好觉了， 但睡眠的缺乏一点也不影响他的兴致。 成百上千以前从来没有见过的星星一颗颗出现在眼前， 让他目不暇接。 他导出了望远镜中物体之间距离和真实距离的关系， 不断地观察纪录， 记录观察， 一幅史无前例的详细星图很快了然于胸。
望远镜里出现了一颗光辉夺目的巨星。 “木星， ” 他自言自语道， “真美呀。 ”
早在远古的时候， 人们就对木星充满了兴趣。 木星这个名字， 是中国古代占星家们按照五行命名的。 古巴比伦人认为它象征宇宙的主宰马尔杜克 (Marduk); 古罗马人称它为朱庇特 (Jupiter)， 也是同样的意思; 古希腊人把它叫做 “灼热” 之星; 而日耳曼文明则认为它代表雷神 (Thor)。 今天我们知道， 木星是太阳系最大的行星。 以太阳为中心的距离来算， 它排名第五， 可它的质量是其他所有行星总和的两倍半。 从地球上看， 它的亮度也只比月亮和金星稍微弱一些。
突然， 教授大叫起来:“咦， 奇怪！”
木星的西侧出现了三颗星， 与木星连成一排。 “不对， 难道是我记错了?” 他一边自言自语， 一边点起蜡烛， 翻阅身边的笔记本。 没错， 昨天晚上， 木星附近也有三颗星星， 但是两颗在木星的右边， 一颗在左边， 可惜， 忘了记录它们与木星之间的距离。 怎么可以犯这样的错误？他在心里狠狠咒骂自己。
以后的几个星期里， 他几乎每天晚上都来到塔楼上， 不断地观测， 记录星星的位置。 不久， 第四颗新星出现了。 它们相对木星的位置不断变化， 却从未远离木星而去， 或左一右三， 或左右各二， 或者全跑到一侧去， 不断变换队形， 仿佛围绕木星顶礼膜拜， 跳着奇妙的舞蹈。 ——只有一种解释， 它们都在围绕木星运转， 尽管各自的运转周期不同。
3 月， 数学教授发表了自己的发现。 他为这本小书取了一个浪漫的名字， 叫《星际信使》(Starry Messenger)， 题献给托斯卡纳 (Tuscany) 公国的美第奇大公科西莫二世。 他的家乡比萨一直处在美第奇家族的治下， 更重要的是， 他需要经济上的支持来完成对望远镜的改进。 他确定了这些木星的 “月亮” 的轨道， 把距离木星最近的叫美第奇一号， 最远的叫美第奇四号。
天文史上是这么记载的:公元 1610 年 1 月 7 日， 伽利略利用自制的望远镜首次发现了木星的四个 “月亮”。 当时还没有卫星的概念， 卫星这个名词， 是他的朋友开普勒后来发明的。 两个月的观测， 伽利略(图 25.1) 彻底改变了天文学。
伽利略在《星际信使》中写道:“这里我们得到一个优美的论据。 对于那些能够平静地接受哥白尼的行星环绕太阳运转理论， 却对月球绕着地球转而二者同时围绕太阳旋转的说法表示震惊的人来说， 这个新论据足以消除他们的疑虑。 有些人以为那样的宇宙机构是不可能的。 可是在木星这里， 我们有不止一个星体环绕另一个星体旋转， 两者又同时沿着巨大的轨道围绕太阳旋转; 我们看到有四个星体围绕木星旋转， 就像月球围绕地球旋转一样， 同时它们作为整体又围绕太阳以 12 年为周期的速度旋转。 ”
图25.1 伽利略肖像。 作者萨斯特曼斯 (Justus Sustermans， 1597-1681)。 此画作于 1636 年， 伽利略时年72岁。 这应该最接近于真实的伽利略。
木星四颗卫星的发现在当时被认为是个奇迹， 它们和木星就像一个小型的太阳系， 这在日心说战胜地心说的过程中起了重要作用。
1628 年， 比萨的天文学教授基亚拉蒙蒂(S. Chiaramonti， 生卒年代不详)发表文章论证说， 1527 年第谷发现的新星距离地球很近， 应该位于地球与月球之间， 这同第谷的观测和他关于新星属于恒星的结论明显相违。 一部分是为了反驳基亚拉蒙蒂的论点， 伽利略于 1632 年发表了《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》(以下简称《对话》)。 这是一本对话形式的书， 参与对话的是支持伽利略的两个朋友与一个支持亚里士多德 (Aristotle， 公元前 384 一公元前 322 )观点的人， 对话分为四天。 伽利略想用这种日常谈话的形式对广大的读者直白地解释一些科学道理， 从而有效地否定亚里士多德的力学和宇宙论。 它用意大利土语写成， 论证删繁就简， 通俗易懂。 这部书所针对的读者要比专业的天文学家和数学家广得多。 他只讨论两种世界体系， 也就是托勒密体系和哥白尼体系， 把其他一些大同小异的体系比如第谷的体系略而不谈。 他对朋友开普勒的体系也不加评述， 因为虽然开普勒体系把哥白尼的理论大大推进了一步， 为专业天文学家和数学家提供了支持日心说的强有力证据， 但它对一般读者不大适合。 伽利略的著作更像是一部通俗读物。
1633 年， 伽利略因为《对话》而第二次被押到罗马宗教法庭受审。 第一次受审是在 1616 年， 因为他支持日心说。 审判之后， 伽利略所有支持日心说的著作都被罗马教廷列为禁书。 在德国， 开普勒的著作也遭到同样的处置。 这一次， 《对话》给伽利略带来了更大的麻烦， 审判者甚至威胁要体罚这位 60 多岁的老人。 伽利略被迫表示和哥白尼假说决裂， 但他还是被判以宣传异端之罪， 不仅入了狱， 还必须在三年中每星期朗读 7 篇忏悔诗。 后来因为病重， 他被转移到佛罗伦萨附近一所村舍里软禁， 在那里度过一生中最后的几年。 他的著作被列入天主教的禁书目录长达 200 多年， 直到 1853 年才被解除。
1640年， 伽利略已经双目失明， 西班牙画家穆里罗 (Bartolomé Esteban Murillo， 1617-1682) 为伽利略作了一幅油画。 画中， 伽利略在监狱里凝视着阻隔他和天空之间的墙壁， 墙上刻着一行字:“可它还是在运动”(意大利文:E pur si muove)。
从概率统计学的角度， 我们这里感兴趣的主要是《对话》中伽利略对随机误差的讨论。 他没有考虑系统误差， 只是讨论 “观测误差”。 不过， 从他的描述里我们知道， 他所关心的是我们今天所谓随机误差的分布问题， 虽然他没有采用 “随机误差” 这个名词。 他的讨论可以总结为以下几条:
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只能有一个数值给出星体 (伽利略讨论的是超新星SN1572， 也就是第谷发现的那颗)到地球的距离， 那就是它们的真实距离。
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所有观测都会有误差， 误差来自观测者、观测仪器、观测条件。
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观测数据系统地分布在真实值的周围; 换句话说， 误差系统地分布在 0 值 (无误差)的周围。
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小误差的出现比大误差更为频繁。
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计算的地星距离是观测角度的函数; 很小的观测角度调整可能会造成很大的距离调整。
我们不知道伽利略描述的这些观测误差的性质是否被当时的天文学家所认同， 但这些性质是后来建立误差理论的基础。 在《对话》里， 伽利略讨论了两个计算地星距离的假定。 他说， 对观测数据需要做最小修正的假定是可能性最高的假定。 然而这里的关键问题是， 什么是 “最小的修正”? 从他的分析来看， 他采用相对于假定的绝对偏差的总和来作为判据。
伽利略没有对数据作出评估， 他只评论说， 同一位观测者对于天极角度的重复测量， 重复程度大致在一分到几分之内， 而第谷是最可靠的观测天文学家之一。 在伽利略的时代， 用作图来表达数据的方法还没有建立。 不过为了讨论的方便， 我们这里还是用作图的方式。
首先简单介绍一下利用天球的概念确定星体位置的方法。 天球是一个假想的球体， 它是与地球同圆心、半径任意大的球 (图 25.2)。 观测者站在地球上某个纬度， 他的头顶 (与地面垂直的方向) 是天球的天顶。 是天球上极星的位置， 是地球的自转轴， 所以从天顶到 的角度就是观测者在地球上的纬度。 由于地球的自转， 观测到的新星的纬度是随着一日之内的时间而变化的。 我们把最小的纬度同天球的交点记为 ， 把最大的纬度记为 。
伽利略把当时所有的关于第谷超新星SN1572纬度的观测资料都考虑进去， 一共有 12 位观测者， 17 个数据点， 分布在不同的地球纬度 上 (表 25.1 )。 不同观测者给出的数据精确度相差很大， 有的数据在报告里只给出度数 (如 )， 有的则精确到秒 (如 )，
图 25.2 天球与测量星体位置示意图。 地球的自转轴对应极星 ， 虚线的椭圆是地球自转对应的观测纬度的变化。 在天球的大圆上， 观察者只能看到 和 两个点， 对应着天体的最低和最高纬度。
表 25.1 不同观测者给出的第谷超新星SN1572 的纬度值
| 观测者 | 极星纬度， $x$ | 新星的最低纬度， $y$ | 新星的最高纬度， $z$ |
| 1a | 55°58′ | 27°57′ | ${84}^{ \circ }{00}^{\prime }$ |
| 1b | ${27}^{ \circ }{45}^{\prime }$ | ||
| $2\mathrm{a}$ | 52°24′ | ${24}^{ \circ }{28}^{\prime }$ | ${80}^{ \circ }{30}^{\prime }$ |
| 2b | ${24}^{ \circ }{20}^{\prime }$ | ${80}^{ \circ }{27}^{\prime }$ | |
| $2\mathrm{c}$ | ${24}^{ \circ }{17}^{\prime }$ | 80°26′ | |
| 3 | ${51}^{ \circ }{54}^{\prime }$ | 23°33′ | 79°56′ |
| 4 | ${51}^{ \circ }{18}^{\prime }$ | 23°03′ | 79°30′ |
| 5 | ${51}^{ \circ }{18}^{\prime }$ | 23°02′ | 79°30′ |
| 6 | ${51}^{ \circ }{10}^{\prime }$ | ${22}^{ \circ }{40}^{\prime }$ | 79°20′ |
| 7 | ${51}^{ \circ }{50}^{\prime }$ | 79°45′ |
(续表) 但这并不能保证精确到秒的数据就一定更准确。
| 观测者 | 极星纬度， $x$ | 新星的最低纬度， $y$ | 新星的最高纬度， $z$ |
| 8 | ${49}^{ \circ }{24}^{\prime }$ | ${22}^{ \circ }$ | ${79}^{ \circ }$ |
| 9a | 48°22′ | 20°09′40″ | 76°34′ |
| 9b | ${20}^{ \circ }{09}^{\prime }{30}^{\prime \prime }$ | 76°33′45″ | |
| 9c | 20°09′20″ | 76°35′ | |
| 10 | 48°22′ | ${20}^{ \circ }{15}^{\prime }$ | |
| 11 | ${39}^{ \circ }{30}^{\prime }$ | ${11}^{ \circ }{30}^{\prime }$ | ${67}^{ \circ }{30}^{\prime }$ |
| 12 | ${38}^{ \circ }{30}^{\prime }$ | ${62}^{ \circ }$ |
图 25.3 总结了所有这些点随着极星的纬度变化的趋势。 为了把 和 的点放在一起比较， 我们将 转换到 上面去， 这很容易做到。 由于点 和点 相对于点 是对称的， 我们把观测者所在的纬度 减掉表中所有 的平均值 就好了。 这些转换过来的数值在图 25.3 中用红色的十字来表示。 除了一个点 (超新星的纬度接近 5°， 最下面的红十字)之外， 其他所有的点基本都随极星的纬度成规则的线性关系。 图中的蓝色直线是极星纬度同超新星纬度成 1 比 1 的关系。 这说明大多数观测数据彼此之间的吻合程度相当不错。
伽利略还注意到， 如果这颗新星是位于遥远空际的恒星， 那么
其中 是一个常数。 而这正是图 25.3 中的蓝色直线所显示的。 当然伽利略没有使用这种代数的表达方法。
从这里出发， 针对基亚拉蒙蒂关于SN1572处于月球轨道的结论， 伽利略令人信服地证明， 观测误差的客观估计对于物理模型的建立具有不可估量的影响。
伽利略首先建立了一个几何学模型来说明两个观测者观测新星的视角对计算星地距离的重要性 (图 25.4)。 其中， 半圆代表地球 (半径为 1 )， 两个观测者 和 分别在纬度为 和 处进行观测， 观测到新星的最大纬度为 和 ， 两者之间的视差 。 根据图 25.4， 我们得到两个观测者之间的距离 同观测者到新星的距离
(如 ) 的关系如下:
图 25.3 超新星SN1572的纬度与观测者纬度的关系。 圆点是最低纬度数据， 红十字是最高纬度数据 (已经转换为最低纬度)。
其中 是两个观测者之间的纬度之差 。 从这两个关系式我们得到
(25.3)
由于 和 相对于 的对称性 (图 25.2)， 对于最低纬度 来说， 只需把式 (25.3) 中的 换成 即可。 式(25.3)中， 右侧的分母是视差的正弦函数。 视差角一般非常小， 这就是伽利略总结的误差特点的第五条: “很小的观测角度调整可能会造成很大的距离调整。 ”
我们总可以把每一对数据点按照 的顺序排列， 也就是说选择 。 观测者的纬度的误差应该相对比较小， 而且 的数值应该比视差角 大很多。
如果从 12 位观测者的数据里各取出一个数据点来， 那么一共有
对数据点提供给式(25.3)来分析。 可 图 25.4 伽利略计算星地距离的几何示意图。 是， 其中 10 位观测者给出最低纬度的数据， 11 位给出最高纬度的数据， 所以实际上数据对的总数应该是 对。 如此多的计算， 在当时的条件下不可能全部进行分析。 伽利略只能选择一部分数据对来分析， 他发现这些数据问题很多。 有的数据对相应的 甚至给出负的视差角 ， 这显然是不可能的。 还有些数据对给出的视差角非常之大， 意味着新星跑到地球里边去了， 这怎么可能呢? 基亚拉蒙蒂显然根本没有考虑到数据的误差问题。 更重要的是， 伽利略指出， 基亚拉蒙蒂并没有考虑所有的数据， 而仅仅选择了一些支持自己观点的数据。
怎样才能客观地考察这些数据的误差以及它们对确定新星距离的影响呢? 伽利略决定把数据分成两部分， 一部分对应着新星位于月球轨道之内， 另一部分对应着新星位于月球轨道以外。 假定新星离地球的距离跟月球离地球的距离 相等， 那么对两个在地球上不同纬度的观察者 和 来说， 新星的视角就是确定的， 不妨把这个特殊的视角记为 。 从式 (25.3) 我们得到
从这里出发， 伽利略计算这些 与相应的观测到的 的偏差 ， 然后把偏差的绝对值都加起来， 也就是 。 对于新星距离的两个假定， 一个在月球轨道以内， 一个在月球轨道以外， 他要看看哪个假定与观测数据更吻合。
伽利略首先考察了 10 对数据， 这些数据不包含不合理的负视差观测点， 而且视差角的值 都比较小， 也就是说， 这些数据都是支持新星距离大于地月之间距离这个假定的。 在这 10 对数据里， 5 对给出的视差角在 1/4 到 4 分角之间， 它们之和是 10 ’。 另外 5 对的视差角都是 0， 这意味着新星的距离在无穷远。 所以全体 10 对数据的偏差绝对值之和是 。 换句话说， 假如新星的距离等于地月之间的距离， 那么这 10 对观测数据的视角误差肯定在 以内。
下一步， 对于基亚拉蒙蒂选择的 10 对数据， 用与上述算法同样的 ， 伽利略得到所有数据对的视角偏差总和为 757， 比上面的视角差的偏差高了 70 倍。 由此， 伽利略得到结论， 新星的距离一定远远大于地月之间的距离。
伽利略还指出， 在估计新星距离时， 应该把所有的观测数据都考虑进来。 今天， 我们知道， 分析所有数据的方法是选择一个 ， 使得对于所有的观测数据对， 取得最小值。 关于这个想法的故事， 我们后面再讲。
从伽利略的分析我们知道， 在把数学模型同比较具体的观测数据相比较的时候， 如果不考虑数据的误差， 常常会得到错误的结论。 尽管伽利略没有清晰地给出一整套分析方法， 但他的分析里明显含有拟合思想的端倪。 可惜， 虽然伽利略的《对话》这本书后来广为流传， 可是后来的天文学家们并没有对他对误差分析的统计思想给与太多的重视。
1642 年， 被疾病折磨了数年的伽利略逝世， 身上仍然带着 “异端” 印记。 他留下遗嘱， 希望把遗体放在佛罗伦萨的圣十字大教堂， 在他祖先的坟墓群里。 可是他的家庭却惧怕会遭到天主教会的反对， 于是把伽利略的遗体装入石棺， 等待机会， 这一等就是将近 100 年。 1737 年， 佛罗伦萨城市违抗教廷的意愿， 把伽利略请入圣十字教堂。 1992 年， 整整 350 年后， 教皇保罗二世代表天主教承认， 在处理伽利略的科学思想上， 神职人员犯了错误， 但他还是没有承认， 教廷在地心说和日心说这个争端中判伽利略为异端是错误的。
伽利略去世15年后的1657年， 佛罗伦萨在托斯卡纳大公的支持下成立了实验科学院 (Academy of Experiments)， 旨在继承伽利略的实验科学传统。 虽然它仅仅存在了 10 年， 但是科学的新风在欧洲已经不可阻挡了。 1660 年， 伦敦皇家自然知识促进学会成立， 这是一个民间组织。 1666年， 法国皇家科学院成立， 由法国政府为成员提供薪水。 1700年柏林科学院成立， 1724 年圣彼得堡科学院成立， 二者都追从法国皇家科学院的模式。 1769 年美国哲学学会成立， 追从英国模式。 一个个国际型的数学与科学社团建立起来了。
本章主要参考文献
Galileo Galilei. Sidereus Nucius (Starry Messenger)， English Translation by A. Van Helden. The University of Chicago Press， 1989: 68.
Galileo Galilei. Dialogue Concerning the Two Chief World Systems (1632)， Translated by Stillman Drake (1953)， Annotated and Condensed by S. E. Sciortino， pp. 100.
Hald， A. Galileo’s statistical analysis of astronomical observations. International Statistical Review， 1986， 54: 211-220.
Hald， A. A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Willey Series in Probability and Statistics. New York: John Wiley & Sons， Inc.， 1990: 586.