第十七章 小试牛刀的天文学家

第十七章 小试牛刀的天文学家

奥得 (Oder) 是中欧一条不大的河流。 它发源于今天波兰南端与捷克接壤的山岭之中， 从南向北流经波兰第四大城市弗罗茨瓦夫 (波兰语: Wrocław) 和德国第五大城市法兰克福 (Frankfurt)， 进入波罗的海。 奥得河流经的地区， 古时候叫做西里西亚 (Silesia)。 它在中世纪时最初属于波兰的皮亚斯特王朝 (Piast Dynasty)， 后来被波希米亚王国 (Kingdom of Bohemia) 夺取， 随之成为神圣罗马帝国的一部分。 1526 年， 它随着波希米亚王国归附于奥地利哈布斯堡王朝， 18世纪中叶又被普鲁士所统治。

弗罗茨瓦夫这个名字可能比较陌生， 它的德语名字布雷斯劳 (Breslau) 的知名度可就高多了。 它在历史上的大部分时期是一个多民族、多元文化的重要城市， 德意志、 波兰、捷克、犹太等民族都扮演过重要角色， 而德语曾经是长期占有优势地位的语言。 二次大战之前， 布雷斯劳是德国重要的工商业与文化名城之一， 规模居全德国第 6 位， 人口 60 多万。 二战结束后， 欧洲领土大幅度调整， 布雷斯劳成为战败国德国失去的最大城市。 那里的德国居民被迫西迁， 而大批波兰人口从东面涌入， 因为波兰东部大片的土地被割让给苏联了。 这使弗罗茨瓦夫成为波兰境内一个风格独特的城市， 它保留了许多普鲁士、奥地利和波希米亚风格的建筑。 不过在今天的波兰， 千万不要把它叫做布雷斯劳， 否则会引起当地人们的反感。

17世纪 80 年代， 布雷斯劳最古老的大教堂是路德教派 (Lutherans) 礼拜的地方。 这个教堂以《圣经》里记载的那位始终不渝追随耶稣基督的圣女抹大拉的玛丽亚为名 (St. Mary Magdalene Church)， 牧师名叫纽伊曼 (Caspar Neumann， 1648-1715)。 在他的会众里， 有许多人相信凶年 (climacteric year)。 这些人认为， 凡是能被 7 和 9 整除的年份都不吉利。 这种说法有古老的来历， 认为一个人一生中有很多不吉利的年份， 比如7岁、14岁、21岁， 等等， 其中以 49、63、81 等最为凶险。 迷信凶年的人以为， 凶年里特别容易生病， 死亡率也比平常年份高得多。 罗马帝国皇帝奥古斯都进入 64 岁时， 曾经大加庆祝， 说至少可以再活 7 年了。 1595 年， 英国女王伊丽莎白一世生病， 英国政府极为恐慌， 因为那年伊丽莎白 63 岁。 官方驱赶无家可归者， 甚至把一些人送到国外， 并为西敏寺增调卫兵， 安排军队以防不测。 由此可见， 这种迷信不仅影响人们对卫生和健康的态度， 还可能促成社会动荡。 纽伊曼决定用事实来辩驳这种谬论， 用统计数据来对付陋习， 这在当时是一个全新的想法。

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史苑撷英

中国古代也有类似的“年忌”。 《黄帝内经·灵枢》:

岐伯曰: 凡年忌下上之人， 大忌常加七岁， 十六岁、二十五岁、 三十四岁、四十三岁、五十二岁、 六十一岁皆人之大忌， 不可不自安也。 感则病行， 失则忧矣。 当此之时， 无为奸事， 是谓年忌。

这跟纽伊曼教会里会众的迷信不是很像吗？唯一不同的是， 中国的年忌在 7 岁以后每 9 年才赶上一次。

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从 16 世纪末起， 布雷斯劳的教区就记录了出生和死亡人口的性别和人数。 从死者的年龄数据很容易检验所谓凶年的可信程度。 于是从 1687 年起， 纽伊曼开始查询教区的出生和死亡记录， 连续收集了 5 年的数据。 这 5 年里， 布雷斯劳的教区一共出生 6193 个婴儿， 埋葬了 5869 人。 经过分析之后， 他把自己的稿子寄给了莱布尼茨。 莱布尼茨在 1692 年 5 月写信给英国皇家学会， 告知他们纽伊曼的工作， 特别提到， 对死者的年龄分析表明， 所谓的凶年是不存在的。 纽伊曼的原始报告已经遗失了， 但死亡数据被保存下来。 表 17.1 是不同岁数的人在这 5 年中的平均死亡人数。 由于数据采集时间段比较短， 不少年龄段只能放在一起来做平均， 比如 9 岁和 14 岁之间的 4 年、 14 岁和 18 岁之间的 3 年等。 这些空缺年龄段用星号(*)来标记。

表 17.1 纽伊曼制作的布雷斯劳 1687 年到 1691 年不同年龄死亡人数的年平均值

年龄	7	8	9	*	14	*	18	*	21	*	27	28	*	35
死亡数	11	11	6	5.5	2	3.5	5	6	4.5	6.5	9	8	7	7
年龄	36	*	42	*	45	*	49	*	54	55	56	*	63	*	70
死亡数	8	9.5	8	9	7	7	10	10.5	11	9	9	10	12	9.5	14
年龄	71	72	*	77	*	81	*	84	*	90	91	*	98	99	100
死亡数	9	11	9.5	6	7	3	4	2	1	1	1	1	0	0.2	0.6

纽伊曼的数据很可能是由莱布尼茨寄到英国去的。 1693 年 1 月 18 日， 皇家学会的秘书兼图书馆长查斯特(Henri Justel， 1619-1693)在学会会议上展示了这些数据。 那天的会议记录有一段简短的记载:

严格地考察了“凶年”。 从这些数据来看， 凶年是毫无根据的。

在场的多数学会会员和莱布尼茨一样， 把注意力放在凶年的问题上， 因为那是纽伊曼文章的主题。 但这显然不是学会重视的问题， 因为纽伊曼的稿子最终没有发表， 而且原稿后来也丢失了。 不过与会者当中有一位却看到了这些数据更加广泛的意义。

1680 年代后期， 英国发生了巨大变化。 1688 年， 英王詹姆斯二世 (James II of England， 1633-1701) 的统治正面临严重挑战。 詹姆斯二世是詹姆斯一世(James I， 1566-1625) 的孙子， 第十二章故事里那位被砍头的苏格兰女王玛丽一世的重孙。 伊丽莎白一世砍掉了政敌的头， 却没能阻挡她的后代占据王位。 也许是祖奶奶玛丽一世的影响， 詹姆斯在 35 岁时秘密放弃新教而转信天主教。 几年以后， 他被迫公开自己的天主教信仰， 并于 1673 年娶了天主教徒、意大利公主摩德纳的玛丽(Mary of Modena， 1633-1707) 为第二任妻子。 许多英国新教徒不信任天主教徒， 甚至认为新娘是教皇派遣的间谍。 1685 年， 詹姆斯的兄长， 英王查理二世去世。 由于查理没有合法的子女， 詹姆斯顺理成章即位成为英国国王。 新任国王开始雇佣信仰天主教的官员， 并在王宫接见教皇特使， 这是在他祖奶奶以后没有人敢做的事。 1687 年， 他下令禁止迫害信仰天主教和其他宗教的教徒。 此后詹姆斯还解除了一些新教官员和反对天主教的伦敦主教的职务， 并再次解散议会， 后来又通过改革政府来削弱贵族的力量。 英国当时只有 20% 的人口是天主教徒， 国王同新教徒之间的信任危机达到了顶点。

1688 年 6 月 10 日， 詹姆斯跟二婚妻子的儿子出生了， 这使得詹姆斯的长女 (就是远嫁到荷兰的玛丽)在争取继承权的排位下降。 在新教徒看来， 英国可能从此就固定在天主教王朝的框架里了。 为了避免天主教的世袭统治， 他们早已开始暗中物色新王的人选， 试图取詹姆斯而代之。 找来找去， 詹姆斯的信奉新教的女儿和女婿、玛丽与荷兰的威廉三世似乎是最佳人选。 实际上， 老谋深算的威廉三世早就在英国树立亲信， 结党拉派了。 1687 年 11 月， 他对英国人民发表公开信， 反对詹姆斯二世的天主教立场。 于是， 7 位重要的贵族官员在小王子出生的第 20 天联名写信， 请威廉三世带兵前往英国。 他们保证， 只要威廉带少许军队前来， 他们就在本地举义兵拥他为王。

威廉三世于当年 11 月 5 日在英格兰南部登陆。 他带来的不是 “少许军队”， 而是 35000 名精兵强将， 其中包括 11000 名步兵和 4000 名骑兵。 载着这批大军过来的是 250艘战舰和 60 只快艇， 军容远远大于 100 年前的西班牙无敌舰队。 詹姆斯的 4 万英军在前往与入侵者作战的路上大批逃亡， 最后只剩下几千人。 威廉兵不血刃进入伦敦， 詹姆斯逃亡法国。

1689 年 1 月， 英国议会在伦敦召开全体会议， 宣布詹姆斯二世退位， 由威廉和玛丽共同统治英国。 在英国， 名叫威廉的国王也正好是历史上的第 3 位， 所以他们两人就成了英国的威廉三世(William III， 1650—1702)和玛丽二世(Mary II， 1662—1694)。 同时， 国会向威廉提出《权利宣言》。 宣言谴责詹姆斯二世破坏法律的行为， 并宣布， 未经议会同意， 国王不能停止任何法律的效力， 也不能强行征税， 甚至天主教徒不能担任国王， 国王也不能与天主教徒结婚， 等等。 威廉接受了宣言提出的要求。 宣言于当年 10 月经议会批准正式成为法律， 也就是有名的《权利法案》(Bill of Rights)。

这个事件对历史产生了深远的影响。 英国《权利法案》出炉后差不多整整 100 年， 美国《权利法案》通过。 这次革命 (或者说政变) 在英格兰没有造成伤亡， 所以英国史上称其为 “光荣革命”。 但是， 苏格兰和爱尔兰坚持效忠詹姆斯二世， 这些以天主教徒为主的地区坚信君权神授， 反对威廉与玛丽的政变， 选择同英国军队直接对抗。 为了镇压反抗， 威廉三世在苏格兰和爱尔兰造成了许多激烈的流血事件， 因此衍生出英联邦的北爱尔兰问题， 绵延数百年。

在荷兰， 人们则经过了从大喜到大悲的过程。 威廉三世一人戴着两顶世界强国的冠冕， 英荷联盟似乎所向无敌。 他们的共同敌人是路易十四， 对法国的战争立即上升到决策问题的首位。 这一打就是 10 年， 最后双方都精疲力竭， 只好达成和平协议。 据估计， 战争消耗了英国 80% 的公共收入， 而荷兰则耗尽了军力、人力和财力， 渐渐沦为世界二等公民。 世事就是如此的变幻莫测: 当初英国因为嫉羡荷兰的富裕而发动了三次英荷战争， 结果战场上输多胜少， 最后还被荷兰人威廉统治。 可是威廉的统治给英国带来了充足的荷兰贷款， 使它超越了荷兰这个商贸强国和海上霸主。 同盟维持了 90 年， 英国吸尽了荷兰的脂膏， 同盟也就渐渐流于形式。 最后第四次英荷战争爆发， 荷兰被彻底打垮， 把仅剩的金融霸权也输给英国了。 不过这些都是后话了。

荷兰人的到来也给英国带来了经济和管理的新理念。 威廉想打仗， 首先需要筹备资金。 早在 1692 年年底， 英国议会就考虑把地产税增加到 20%， 估计这样可以筹到两百万英镑。 国会议员佛理 (Paul Foley， 1644-1699) 反对， 并提出用年金和彩票的方式筹款。 国会通过了这个提议， 把 1693 年 5 月 1 日定为购买年金的截止日期。 1693 年， 当皇家学会的会员们讨论凶年的时候， 正是国会紧锣密鼓准备实行年金的时候。

看到纽伊曼牧师数据的广泛应用价值的， 是著名的天文学家哈雷 (Edmond Halley， 1656-1742)。 哈雷天赋过人， 酷爱天文和数学， 15岁就开始观察星星。 他17 岁进入牛津大学， 本科还没毕业就发表了关于太阳系和太阳黑子的研究结果。 他还为刚刚成为皇家天文学家的佛兰斯蒂德 (John Flamsteed， 1646-1719) 当助理， 协助在牛津和离伦敦不远的格林威治天文台进行天文观测。 1675 年， 格林威治皇家天文台正式启动， 佛兰斯蒂德专时在那里观测北半球的星星。 哈雷决定辍学， 乘船到圣海伦岛去观测南半球的星星。 哈雷此行得到查理二世的直接支持。 那年他还不满 20 岁。 两年以后， 他满载而归， 为世界星图增加了 341 颗只有在南半球才能见到的星星。 同年， 他被选入皇家学会， 成为其中最年轻的会员。

1692 年， 哈雷已经 37 岁了， 但还没找到一席理想的教授位置， 阻碍的因素是他对 《圣经》的怀疑态度。 佛兰斯蒂德就曾直接写信给牛津大学， 说让哈雷教书会毒化学生。 不过哈雷对教席似乎不大介意， 他更喜欢跑到天涯海角去看星星。 他是皇家学会的助理秘书兼会刊的编辑， 依靠为学会工作来换取报酬。 也许是这些工作的原因， 使他的目光比其他科学家更为广阔。

哈雷先把纽伊曼的男女死亡数据加起来做年平均， 得到的就是表 17.1。 这个表格发表在 1694 年皇家学会的会刊上。 表中带小数点的数据， 在哈雷的原始表格里是以分数给出的， 0.5 是 1/2， 0.4 是 2/5 等等， 显然已经做过近似了。 哈雷还注意到， 在纽伊曼的数据中， 14岁去世的人最少。 他认为这反映了采样的局限性， 并不代表大量人口的正常统计趋势。 所以在后面的数据处理中， 他把 14 岁的死亡人数按照英国的数据相应地上调。 从表 17.1 出发， 哈雷通过统计分析来计算不同年龄的人剩下的存活时间， 从而得到生命年表 (表 17.2 )。

为了方便说明他的计算方法， 让我们先定义几个现代常用的基本符号。 我们在考虑生命和死亡的时候， 有两个时间概念， 一个是年龄， 一个是日历年。 日历年对应的是日历上的时间段， 它的起点有任意性。 岁数当然一定要从一个人出生的时间算起。 用 $x$ 代表年龄， 在 $x$ 岁时活着的人数是 $l_x$， 死亡的人数是 $d_x$。 生命年表是稳定人口里面生存者岁数的分布。 所谓 “稳定人口” 需要满足三个条件 (或假定): (1) 在任何日历年， 出生人口， 也就是岁数为 0 的人数 $l_0$ 是恒定不变的; (2) 死亡率在任何日历年也保持不变；(3)没有移民人口进出。

图 17.1 可以帮助我们了解哈雷的分析方法。 在这张图里， 横坐标是年龄， 纵坐标是日历年。 作为例子， 图中的黑色粗箭头表示一个在日历年 $C$ 年 4 月某一天出生的婴儿， 他的年龄顺着黑色箭头沿着坐标系的对角线到达 2 岁， 对应的日历年是 $C+2$ 年， 这样的对角线叫做生命线。 我们可以从纵坐标轴 (年龄 $=0$ ) 上的任意一点出发， 画出无数条相互平行的生命线来， 每一条对应着一个该年月日出生的人。 随着年龄增长， 这些生命线沿着对角线向右上方增长， 一直到死亡的年龄为止。 在 $C+1$ 年将到的时候， $C$ 年的所有出生人口 (也就是不到 1 岁的婴儿总数) 是 $l_0$。 按照哈雷把纽伊曼给出的 5 年内出生婴儿的总数 (6193) 做年平均， 每年出生婴儿是 1238 个。 所以在哈雷的计算里 $l_0=1238$。 图 17.1 中所有的具体数据都来自哈雷的分析， 其中红色数值对应的是 $l_x$， 黑色数值对应的是 $L_x$。

在 $x$ 年和 $x+1$ 年死亡的人数是 $d_x=l_{x+1}-l_x$。 对年龄在 1 到 2 岁的孩子们来说， 去世的婴儿数目对应着在图 17.1 中终止在那个浅蓝色菱形里面的所有生命线的数目。 这个死亡数可以分成两部分， 以 $C+2$ 年 1 月 1 日为界， 这一天之前的是 $C+1$ 年里 1 岁以内的孩子的死亡人数， 记为 $d_1^b$ (见图 17.1)， 这里的字母 $b$ 代表生日之前 (before)。 1 月 1 日之后的是 $C+2$ 年里过了 1 岁生日的孩子的死亡人数， 记为 $d_1^a$， 字母 $a$ (after) 代表生日之后。 这种符号对任何年龄 $x$ 都适用， 而且 $d_x=d_x^b+d_x^a$。 有了这些量， 在 $x$ 年到 $x+1$ 年内活着的人数就是 $L_x=l_x-d_x^b=l_{x+1}+d_x^a=\frac{1}{2}\left(l_x+l_{x+1}\right)+\frac{1}{2}\left(d_x^a-d_x^b\right)$。 从图 17.1 上看， $L_x$ 等于穿过第 $C+x$ 个日历年横线的所有生命线的总和。 哈雷使用的具体数字是蓝色的， 用箭头指出的数值对应的是 $d_x^b$， 没有箭头的数值对应的是 $d_x^a$。 如果死亡人数在一个日历年大致是均匀分布的， 那么可以做一个近似 $L_x\approx \frac{1}{2}\left(l_x+l_{x+1}\right)\approx \frac{1}{2}{L}_{x+1/2}$。 最后， 人口总数就是把所有的 $L$ 都加起来。

图 17.1 分析生存和死亡统计数字的示意图。 细节请见正文。 这种作图方法叫做莱克西斯图， 其名字来自德国的统计、经济和社会学家莱克西斯 (Wilhelm Lexis， 1837-1914)。 图中黑色的数值对应于表 17.2 中坐标第二列的人数， 也就是 $L_x$ ( $x$ 是年龄)。

根据纽伊曼的数表， 哈雷假定布雷斯劳每年有 1238 个婴儿出生， 也就是说， 在图中 $l_0=1238，l_6=692$。 哈雷取了个近似值 $L_0=1000$， 由此得到 $d_0^b=238，d_0^a=110$。 由此得到 $l_1=890$。 虽然 $l_3$ 到 $l_5$ 都没有数据， 但因为知道 $l_6=692，x=2$ 到 6 之间的相应数值可以通过线性内插得到。 利用相同的方法， 他把生命年表一直计算到 84 岁(见表 17.2)。

表 17.2 哈雷的生命年表 (这里每个年龄 $x$ 的人数对应的是 $L_{x-1}$ )

年龄	人数	年龄	人数	年龄	人数	年龄	人数	年龄	人数	年龄段	总人数
1	1 000	18	610	35	490	52	324	69	152	0到7	5 547
2	855	19	604	36	481	53	313	70	142	8 到 14	4 584
3	798	20	598	37	472	54	302	71	131	15 到 21	4270
4	760	21	592	38	463	55	292	72	120	22 到 28	3 964
5	732	22	586	39	454	56	282	73	109	29到35	3 604
6	710	23	579	40	445	57	272	74	98	36到42	3178
7	692	24	573	41	436	58	262	75	88	43到49	2709
8	680	25	567	42	427	59	252	76	78	50到56	2194
9	670	26	560	43	417	60	242	77	68	57 到 63	1 694
10	661	27	553	44	407	61	232	78	58	64到70	1204
11	653	28	546	45	397	62	222	79	49	71到77	692
12	646	29	539	46	387	63	212	80	41	78到84	253

(续表)

年龄	人数	年龄	人数	年龄	人数	年龄	人数	年龄	人数	年龄段	总人数
13	640	30	531	47	377	64	202	81	34	85 到 100	107
14	634	31	523	48	367	65	192	82	28	0 到 100	34 000
15	628	32	515	49	357	66	182	83	23
16	622	33	507	50	346	67	172	84	20
17	616	34	499	51	335	68	162

我们看到， 哈雷在进行计算时采用了不少近似和假定， 具体数值跟纽伊曼的报告也稍有出入。 但这并不影响总体结果， 因为生命年表并不考虑个体的特殊性。 个体特殊性的变化范围恐怕要比这些近似要大多了。 虽然统计学的这一部分被称为 “精算学”(Actuary)， 但实际上在数学上是比较粗糙的。 这也就是为什么不少科学家看不起这种研究， 胡克就是其中之一。 胡克在日记里记录了两次参加年会的概况。 第一次， 他记到:“哈雷讨论了布雷斯劳的死亡数字和星图。 ” 第二次， 他写道:“哈雷又谈埋死人的事了。 ” 显然， 他已经听得不耐烦了。

哈雷是搞天文观测的， 他喜欢数据。 他对这些数据的分析在概率统计学历史上有重要意义。 在下篇《近代科学概率的故事》里面， 我们将看到， 概率统计对现代科学的发展起了多么重要的作用。

哈雷的生命年表 (表 17.2 )列出了每 1000 个新生儿从 $x=0$ 到 83 岁每一年中的存活人口数 $l_x$。 在表 17.2 的最右端还列出了 13 个年龄段、每段 7 年的存活人口总数 $L$。 然后他把所有的 $L$ 数都加起来， 得到总人口数 (34000)。 从这张表出发， 可以直接得到每个年龄里的去世人口， 从而得到该年龄的死亡概率。 他注意到， 婴儿出生后， 前6 年的死亡率差不多是 30%， 这和格朗特的数据很接近。 据此他评论说， 布雷斯劳的数据可以作为死亡年表的标准。

所谓 “标准” 是有时代和地域限制的。 哈雷时代的卫生条件、医疗条件、医药的状况和医学发展水平远不如今天。 他的标准对今天来说完全不适用。 我们不妨把格朗特、德维特和哈雷的生命年表与美国2004年的统计数据做一个比较 (图 17.2)。 德维特的年表基于阿姆斯特丹的统计数据， 格朗特的年表来自伦敦的数据， 哈雷的年表来自布雷斯劳。 它们之间有明显的不同， 但比起美国2004年的统计来， 这些 17 世纪的

图17.2 本篇里涉及的生命年表同美国 2004 年 统 计 数据的比较。 数据显示出高得惊人的婴儿死亡率。

建立了比较满意的生命年表之后， 哈雷在报告中开始讨论这个年表的 7 个重要用途。

第一是估算可当兵的男子的数目。 在英国， 能当兵的年龄是 18 岁到 56 岁。 把从 $x=18$ 到 $x=56$ 的 $L_x$ 加起来再除以 2， 他得到兵龄男子的总数 9207。 所以大致可以说， 任何一个地区， 可当兵人口约占总人口的 9/34。 他还计算出 16 岁到 45 岁的孕龄女子大约有 7000 人， 与总人口的比值是 7/34。 可是每年只有 1238 个婴儿出生。 他呼吁， 应该对贫困者提供有效的护理， 并给以就业机会， 这样可以增加出生率。

第二是估计死亡概率。 他说， 可以用 $\frac{L_{x+t}}{L_x-L_{x+t}}$ 来定义 $x$ 岁的人口的 “生命强度” (vitality)。 这个比值所显示的是一个 $x$ 岁的人在 $x+t$ 岁时仍然存活的发生比 (odds)。 他举例说， 根据表 17.2， 一个 25 岁的人在 26 岁时仍然存活的发生比是 $\frac{560}{560-553}$。 他说， 这个 25 岁的人在 26 岁时存活对死亡的机会之比是 80 对 1。 这种用法有别于我们现在常用的概率的定义 (我们一般都假定存活与死亡概率加起来等于 1 )， 但基本思路是一致的。 用现代概率的定义， 这人在 26 岁存活的概率是 $\frac{80}{80+1}=0.9876543$。

第三， 他指出一个人在 $x$ 岁以后可能的生存年数 $t$ 可以通过求解 $L_{x+t}=\frac{1}{2}{L}_x$ 来估计。 这一点， 我们在惠更斯兄弟的故事中已经讨论过了 (见图 16.1)。

第四是保险和年金的计算应该根据前面第二点的存活机会来考虑。 这是很明显的。 比如， 一个 20 岁的人在下一年里存活对死亡的机会之比是 100 对 1， 而一个 50 岁的人的相应比例就只有 35 对 1 了。

第五是计算年金的具体方法。 他指出: 购买年金者应该只付出他在有生之年应该付的年金部分， 应该按照年份逐年计算， 然后把各年的价格全加起来， 其总数是为购买者提供的年金。 哈雷说， 对一个 $x$ 岁的购买者所购买的一个货币单位的年金来讲， 他应该得到的报酬的计算公式是

$$\sum _{t=1}^{w-x-1}{\left(1+i\right)}^{-t}\left(\frac{L_{x+t}}{L_x}\right)，\text{\hspace{1em}(17.1)}$$

这里， $w$ 是相同年纪 $x$ 的人里面最早死亡者的岁数， ${\left(1+i\right)}^{-t}$ 是当前一个货币单位的本金在利息为 $i$ 的情况下 $t$ 年以后剩下的价值， $\frac{L_{x+l}}{L_x}$ 是 $x$ 岁的人在 $t$ 年以后的存活概率。

通过以上计算， 哈雷给出一个例子， 也就是表 17.3， 即在年息为 6% 的情况下， 对年龄为 1 到 70 岁的人来说， 购买一个货币单位的年金， 最终从年金得到的报酬的总和。 比如， 一个 5 岁孩童购买 1 英镑的年金， 在他去世的时候总共得到 13.4 倍的回报。 这相当于 13 年年金， 而当时的英国政府的 6% 年息却是按照 7 年年金来放卖的。 这对买年金的人来说非常合算， 可对政府来说却是赔钱的。 这个计算还表明， 购买年金者的年龄对回报有非常大的影响， 不能不按年纪放卖年金。 不过， 哈雷发表了这个结果以后， 英国政府并没有立刻改变年金的政策。

表 17.3 哈雷计算的不同年龄者购买年金的总报酬

年龄	1	5	10	20	30	40	50	60	70
年金报酬	10.28	13.40	13.44	12.78	11.72	10.57	9.21	7.60	5.32

第六， 哈雷从上面单个人年金的分析发展到两个人 (比如夫妻) 的年金分析。 他说， 把前面两个单人生存的概率乘起来， 就可以得到两个人共同年金的计算公式。 用现在的数学符号来表达就是

$$\sum _{t=1}^{w-x-1}{\left(1+i\right)}^{-t}\left(\frac{L_{x+t}{L}_{y+t}}{L_x{L}_y}\right)，\text{\hspace{1em}(17.2)}$$

这里， $x$ 和 $y$ 是两个人当前的年龄， 而且 $x$ 比 $y$ 小。 为了解释这个公式， 哈雷做了一个简单的几何图解 (图 17.3)。 图中矩形的横向长度代表 $x$ 岁的人数 $L_x，t$ 年以后， $x+t$ 岁的存活人数是 $L_{x+t}$， 人数的减少量是 $L_x-L_{x+t}=D_{x，t}$。 随着 $t$ 的增加， 存活人数最后减少到 0。 矩形纵向的长度是 $y$ 岁的人数 $L_y$， 它随 $t$ 的变化和横轴类似。

图 17.3 哈雷基于生命年表对双人存活概率的分析。

从这张图我们可以看到， 两个人同时存活的概率是灰蓝色的面积 $L_{x+t}\times L_{y+t}$ 同总面积 $L_x\times L_y$ 的比值。

第七， 类似地可以考虑 3 人年金的分析。 从双人年金的分析我们看出 3 个人的生存概率应该是 $\frac{L_{x+t}{L}_{y+t}{L}_{z+t}}{L_x{L}_y{L}_z}$。 哈雷也用几何图形做了解释。 那是一个以图 17.3 中的矩形为基底的三维矩形， 第三轴跟纸面垂直指向读者。 对应的灰蓝色区块也变成三维的矩形， 不过基本思想同图 17.3 是一样的。

这项工作完成以后， 哈雷又转去研究他的星星了。 1696 年， 他计算了 1607 年和 1682 年出现的彗星的轨道， 认为这两次出现的是同一颗彗星。 这个研究结果一直到 1705 年才发表， 在这期间他研究了 20 颗彗星的轨道， 认定 1531 年、1607 年、1682 年出现的是同一颗彗星。 他预测， 这颗彗星将在 1758 年再次出现。 1758 年圣诞节那天， 彗星果然出现了。 于是这颗彗星被命名为哈雷彗星。 可惜哈雷没有看到这次彗星的出现， 他在 1742 年去世了。

对哈雷个人来讲， 人口统计工作只是一时兴起， 偶尔 “玩票” 而已。 可是直到今天， 他的工作仍然被认为是现代人口学统计分析的开端。

史苑撷英

中国有最早、最完备的关于哈雷彗星的观察记录。 根据近代天文学家朱文鑫 (1883-1939)考证， 从秦始皇七年(公元前 240 年)到清宣统二年(1910 年)， 共有哈雷彗星出现记录 29 次。

最早的记录在公元前613年——《春秋》: “秋七月， 有星孛入於北斗。 ”

《新约圣经》有 “伯利恒之星” 的说法， 也叫耶稣之星。 说耶稣降生时天空出现一颗星， 引导东方的“博士”找到耶稣。 后来有学者认为， 那颗星就是哈雷彗星。

而中国古籍记载的公元前 12 年(西汉汉成帝元延元年)的彗星跟“伯利恒之星”的年代最为接近。

《汉书·五行志》: “元延元年七月辛未， 有星孛于东井……后六日度有余， 晨出东方；十三日， 夕见西方……旬而后西去， 五十六日与苍龙俱伏。 ”

13 世纪的佛罗伦萨画家邦朵内 (Giotto di Bondone， 1267-1337) 在他的画作中， 就用彗星来代表伯利恒之星 (下图马棚上方橙色的物体)。

本章主要参考文献

Ciecka， J. E. Edmond Halley’s Life Table and Its Uses. Journal of Legal Economics， 2008， 15: 65-74.

Hald， A. A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Willey Series in Probability and Statistics. New York: John Wiley & Sons， Inc.， 1990: 586.

Halley， E. An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind， drawn from curious Tables of the Births and Funerals at the City of Breslaw; with an Attempt to ascertain the Price of Annuities upon Lives. Philosophical Transactions of the Royal Society of London， 1693， 17: 596-610.