第十八章 泡咖啡屋的家庭教师

第十八章 泡咖啡屋的家庭教师

泰晤士河发源于伦敦西边 150 公里处， 它流经牛津、伦敦， 然后进入北海。 在靠近伦敦西城的地方， 泰晤士河转了两个接近于直角的大弯， 第一个弯把白金汉宫、大笨钟和西敏寺甩在西岸， 第二个弯把圣保罗教堂、伦敦老城和伦敦塔留在北岸。 在泰晤士河从向北改为向东的拐角附近， 有一条小街名叫圣马丁 (St. Martins Lane)， 南北走向， 不到 200 米长。 18 世纪的时候， 这条街上有好几家咖啡屋。 街南口的咖啡屋名叫彩虹， 街中间的叫桥(Pons)， 北口的叫屠宰房(Slaughterhouse)。

18 世纪初的伦敦， 雨后春笋一般冒出了数百家咖啡屋。 那时的咖啡接近于土耳其式， 液体浓稠， 满是咖啡豆的渣滓。 由于味道极苦， 放了大量的糖， 被戏称为 “黑如地狱、烈如死亡、甜如爱人”。 咖啡屋很快变成伦敦老百姓进行信息交换的重要所在。 每天早晨上班之前， 各个阶层的男人们涌入咖啡屋， 读报纸， 谈论时局。 在这里可以交换雇主招工的信息， 收取信件， 打听新书出版的消息。 商业交易也常在咖啡屋里进行， 比如卖生命保险， 找律师等等， 有的甚至还兼管失物招领。 这里完全是男人的天下， 四处弥漫着烟草和汗酸的气味。 浓咖啡极为提神， 时不时会有一位兴奋难忍的家伙跳起来， 大声地宣讲自己的思想， 不管别人爱听不爱听。 知识分子可以为好奇者介绍自己的研究， 他们之间也在顾客面前辩论谁是谁非。 任何一个人， 花一个便士买杯咖啡， 就可以在这里坐一天， 听辩论， 听讲课 (1 英镑等于 20 先令， 240 便士)， 所以伦敦人把咖啡屋称为 “便士大学”。 许多咖啡馆有固定的顾客群。 圣马丁街附近住着许多法国移民， 桥的顾客主要是法国军人， 彩虹聚集了流亡的知识分子， 而屠宰房则是棋类和牌戏爱好者消磨时光的地方。

信奉天主教的路易十四在法国迫害新教徒， 其中尤以胡格诺(Huguenot)教派为甚。 这个教派信奉加尔文主义 (Calvinism)， 从 16 世纪中叶开始在法国流传。 一百多年来， 法国发生了多次战争和屠杀， 但胡格诺的人数有增无减。 1685 年， 路易十四正式宣布胡格诺为非法， 造成法国胡格诺人士大规模外迁到信奉新教的国家， 估计流亡人数高达 20 万。

英国与法国仅隔一个海峡， 所以是胡格诺人流亡的重要所在。 在屠宰房咖啡屋里， 经常可见一个瘦高的法国男人。 一百多年后， 当英国人描述他的时候， 说他面容异常英俊， 目光充满了深思和关爱。 这人名叫亚伯拉罕·棣莫弗(Abraham de Moivre， 1667-1754)， 出生在法国香槟省一个名叫维特里 (Vitry) 的小镇， 这个小镇子的历史不大平常。 1142年， 法王路易七世 (Louis VII le jeune， 1121-1180) 侵入香槟， 夺取了维特里， 镇上 1000 多人被杀害， 教堂被烧为灰烬。 1544 年， 英国和神圣罗马帝国联合攻打法国， 神圣罗马帝国皇帝查理五世亲自带领军队侵入法国北部， 维特里又被夷为平地。 棣莫弗出生的前后， 这里的人们又因为信仰新教而遭到路易十四的迫害。

棣莫弗的父亲是手术医生， 但家庭并不特别富裕。 刚上小学不久， 棣莫弗就显示出对知识刨根问底的追求。 有一次， 他不断地追问最大公约数和最小公倍数的问题， 惹恼了性格暴躁的老师， 恼羞成怒的先生竟然朝着少年的耳根子狠揍了几拳。 父亲很早就看到儿子在数学上的天赋， 不惜倾其所有， 为他寻找好教师。 15 岁的时候， 棣莫弗弄到了我们在前面提到的惠更斯关于概率的著作， 虽然他不能完全读懂， 但一有时间他就拿出来津津有味地反复阅读。 1684 年， 他来到巴黎， 修习物理， 偶然发现了一部拉丁文版的欧几里得的《几何原理》。 刚开始他读得很顺利， 似乎没什么困难， 可是读过第 5 条定理以后， 就再也搞不明白了， 把这个 17 岁的大孩子急得直哭。 幸好有个亲戚懂一些几何， 为他讲解。 很快他就把六卷都读完了。 1685 年路易十四宣布胡格诺教派为非法， 1686 年， 棣莫弗因为信仰而入狱。 出狱以后， 他就和弟弟丹尼尔一起移民到伦敦去了。 那一年他刚满 20 岁， 身无分文。

在伦敦的最初几年肯定是相当困难的。 兄弟俩对英语一窍不通， 基本上是又聋又哑。 他们很可能是在胡格诺移民圈子里开始寻找工作的。 两个人都给孩子们做课外辅导， 哥哥教数学， 弟弟教长笛。 棣莫弗的数学教学很快得到人们的欢迎。 渐渐地， 伦敦的贵族家庭也开始请他做家教了。 于是， 他每天奔波在伦敦的各个豪宅。 家教的收入似乎还不错， 他可以在圣马丁街上租到一个住所。 每天教书结束， 回到街上， 他就先到屠宰房咖啡厅， 要一杯咖啡， 然后看人们下棋打牌。 渐渐地， 他看出了门道， 利用学到的概率知识， 他能够分析计算不同局面获胜的大致概率。 这么一来， 他成了咖啡馆的名人， 凡是打牌下棋赌钱的， 都找他咨询。

这是一个极为勤奋的年轻人。 有一天， 棣莫弗去拜访德文郡伯爵 (Dukes of Devonshire)， 远远地， 他看见有个陌生人正离开伯爵的府邸， 那人正是大名鼎鼎的牛顿。 牛顿在拜访伯爵之后， 给他留了一套书作为礼物， 就是不朽的名著《自然哲学的数学原理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy)。 棣莫弗被请进图书馆等候伯爵， 正好看到那套书。 从插图来看， 读懂这部书似乎没有问题， 可是翻了几页以后， 他竟完全看不明白。 于是， 从伯爵府邸一出来， 他就跑去买了一套 《自然哲学的数学原理》。 由于私人授课需要到处奔波， 没有整块的时间研读， 于是他就每天从书上裁下几页来带在身边， 只要有功夫就读一段。 不久， 他居然把这部书完全搞明白了。

1692 年， 他认识了哈雷， 这正是哈雷开始考虑生命年表的时候。 也许是哈雷的引荐， 不久棣莫弗便认识了牛顿。 巧了， 牛顿的府邸正好离圣马丁街不远。 于是， 教完一天的书， 棣莫弗就来到屠宰房， 在那里同牛顿喝咖啡讨论数学物理问题， 晚上就到牛顿的府邸继续探讨哲学问题。

1695 年 6 月 26 日， 哈雷告知皇家学会: 有一位法国来的棣莫弗先生， 近来对牛顿先生的以 “流数” (fluxion) 为基础的微分学方法做了改进， 并把改进的方法用于求曲线的切线 (也就是微分)、面积 (积分)， 计算曲面以及重心。 哈雷的通知很可能是来自牛顿的建议。 棣莫弗的文章在当年的会刊《自然科学会报》上发表， 那年他28岁， 一切全是在授课之余自学的。 当时， 除了哈雷和牛顿， 皇家学会没人认识这位棣莫弗先生。

两年以后， 皇家学会的日志上出现了这么一段记载: 棣莫弗先生宣读了一篇文章， 给出任何已知幂次 $n$ 的无穷项式， 也就是 ${\left(ax+b{x}^2+c{x}^3+d{x}^4+\cdots \right)}^n$ 里面所有 $x^m$ 的系数的公式以及求根的算法。 学会要求他在文章付印时对学会表示致谢。 同年， 他被选为英国皇家学会院士。

1711 年， 棣莫弗在《自然科学会报》上发表了拉丁文长文《论机会的测量》(The Measurement of Chance)， 占据了那一期会刊的全部篇幅。 1718 年， 他用英文出版了第一版《机会的理论: 博弈事件概率的计算方法》(The Doctrine of Chance: or， a Method of Calculating the Probability of Events in Play)。 在这一版里， 棣莫弗给出了好几个重要的概率定理， 但都没有证明。 10 年来， 他卷入了好几个有关科学发现优先权的纷争， 其中最有名的是牛顿和莱布尼茨之间谁最先发明微积分的争端。 关于这个故事， 我们放在《函数与分析卷》里细讲。 棣莫弗无端卷入其中， 被当时的皇家学会主席牛顿提名进入学会的调查小组。 我猜想， 棣莫弗之所以入选是因为他来自欧洲大陆， 而且是牛顿的朋友。 不然的话， 调查小组的成员就全是英伦三岛人士， 自己都不好意思了。 棣莫弗自己也正在跟法国的德蒙莫尔争论不休， 中心问题是二人之间究竟谁最先解决了几个重要的概率论问题。 后人的分析说明， 棣莫弗的分析手段比德蒙莫尔要简洁清晰。 棣莫弗一直等到德蒙莫尔去世以后， 才把《机会的理论》的内容大大扩充， 使它在一夜之间成为名著。 这本书被誉为现代概率论的开端， 里面包括许多重要的结果， 对概率论的发展影响深远。 这里， 我们只谈谈所谓的正态分布。

我们在上篇里谈过二项式同概率的密切关系。 比如， 把一枚 “公正” 的硬币投掷 100次， 得到 60 次正面的概率是多少? 还记得吗， 帕斯卡已经证明， 这种概率的计算可以依靠下面这个公式来进行:

$$P\left(k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}{p}^k{\left(1-p\right)}^{n-k}，\text{\hspace{1em}(18.1)}$$

这里， $k$ 是出现硬币正面的次数 $\left(=60\right)$， $n$ 是投掷硬币的总次数 $\left(=100\right)$， $p$ 是每次投掷出现正面的概率。 有了这两个数值， 按照公式 (18.1)， 原则上任何 $n$ 和 $k$ 的概率都可以算出来。 可是在没有计算机的年代， 要计算 100 或者 60 的阶乘、 0.5 的 100 次方等也不是一般人能胜任的。 如果想要知道得到 60 次以上正面的概率， 那就更麻烦了。 这需要计算 $k=61\text{、}62\text{、}63$ 直到 100 的概率， 然后把它们都加起来。 这得需要多少时间呀?

屠宰房咖啡屋的棋牌桌边上， 棣莫弗大概每天都被问到这一类的问题。 他渐渐注意到， 随着 $n$ 的增加， 二项式系数的分布越来越接近一条连续的曲线 (见上篇里的图 3.1)。 用今天的话来说， 在 $n$ 变得非常大的时候， 二项式的分布可以用一个连续函数来表达。 棣莫弗觉得， 如果能够找到这条曲线的一个数学表达式， 那么， 对于任何这类的问题， 就可以用同样的方式直接来计算。 十几年前， 在研究牛顿的 “流数” 微分理论时， 他对无穷数列做过相当深入的探讨， 所以他对这样的问题并不陌生。 经过一番细致的推导， 他证明， 当 $n$ 很大的时候，

$$\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}{p}^k{\left(1-p\right)}^{n-k}\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi np\left(1-p\right)}}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left(k-np\right)}^2}{2np\left(1-p\right)}}.\text{\hspace{1em}(18.2)}$$

这个约等式实际上在 $n$ 趋于无穷时两端都趋于无穷， 但式子的左端与右端的比值逼近于 1。 要证明这个等式， 需要对式子左边的阶乘项进行大数极限的近似。 这个近似公式被称为斯特灵近似 (Stirling approximation)， 因为后人把发现近似关系的功绩归到斯特灵(James Stirling， 1692-1770)身上。 可是在实际历史事件中， 棣莫弗是最早发现这个关系的。

棣莫弗所发现的是概率论中心极限理论的一个特例。 他意识到这是对伯努利的所谓 “黄金定律” (拉丁文:Theorema aureum) 的推广和改进。 这个定律后来被法国数学家泊松 (Simeon Denis Poisson， 1781-1840) 命名为 “大数定律” (Law of large numbers)。

在式 (18.2) 的右侧， 如果令 $\sigma =\sqrt{np\left(1-p\right)}，\mu =np，x=k$， 我们就得到一个看起来比较简单、但是非常著名的表达式: $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$。 这个函数随 $x$ 的变化方式被称为 “正态分布” (Normal distribution)。 这个式子里的变量 $x$ 的 $\mathrm{e}$ 指数函数被称为高斯函数， 而

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}\text{\hspace{1em}(18.3)}$$

被称为概率密度函数 (Probability density function)， 其中， $\mu$ 是概率分布的平均值或中间值， $\sigma$ 是中间值的标准偏差， ${\sigma }^2$ 是概率分布的方差。 关于这个概率分布的故事， 我们将在下篇里细讲。

正态分布在统计学中的重要性一部分来自中心极限定理。 这是一组概率论的定理， 其指出， 大量的相互独立的随机变量的平均值在经过适当标准化以后， 都遵守正态分布。 这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础， 在自然科学和社会科学的观测数据中， 大多数具有实数值的随机变量都可以近似地用正态分布来描述。 而这组定理的开创者正是棣莫弗， 可惜他这个超越时代的成果被人忽略了将近一个世纪。 直到 19 世纪初 (1812 年)， 法国数学家拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace， 1749-1827) 发表了名著《概率理论分析》(法文: Théorie Analytique des Probabilités; 英文: Theoretical Analysis of Probability)， 这个默默无闻的理论才被拯救出来。 拉普拉斯扩展了棣莫弗的理论， 指出二项分布可用正态分布逼近。 但同棣莫弗一样， 拉普拉斯的发现在当时也没有引起很大的反响。 中心极限定理的重要性要到 19 世纪末才广泛被世人所知。 1901 年， 俄国数学家李雅普诺夫 (Aleksandr Mikhailovich Lyapunov， 1857-1918) 用更普通的随机变量来定义中心极限定理， 并在数学上进行了精确的证明。 如今， 中心极限定理被认为是概率论中最为核心的定理之一。

百般周折之后， 雅各布·伯努利的遗作《猜度术》终于在 1713 年付梓出版(见第十章)。 雅各布的侄子尼古拉在《猜度术》的前言里直接呼吁概率论领域的两位领军人物棣莫弗和德蒙莫尔， 请他们考虑概率论在经济和政治领域的应用， 以完成叔父的遗愿。

棣莫弗当时正被卷入一个优先发现权的争论， 无暇顾及其他。 事态平息以后， 他开始考虑英国的年金问题。 那时， 哈雷的生命年表已经问世 30 多年了， 可英格兰的年金放卖政策还是盲目的。 年金的价格、年限， 政府允诺的利率等都没有经过仔细的分析和计算。 所以， 棣莫弗的《生命年金》(全名: Annuities upon Lives， or， the Valuation of Annuities upon any Number of Lives， as also， of Reversions to which is added， an Appendix Concerning the Expectations of Life， and Probabilities of Survivorship) 在 1725 年一出版， 其内容的丰富和精到马上受到全国的欢迎， 一版再版。

我们在前一章讲到哈雷的年金计算方法， 比如公式 (17.1) 和 (17.2)。 在 18 世纪， 利息的幂次计算完全依赖于对数表， 因为一般人没有计算对数的工具。 而生存概率则需要按照第十七章的那些公式一步一步逐年地计算， 年龄数目越大， 计算的步骤越多。 这在当时很难完成。 哈雷自己就说， 急需找到一个简便的计算方法。

棣莫弗对数字显然非常敏感。 不用画图， 他就注意到哈雷的生命年表里的生存年龄是分段线性的。 这从图 17.2 可以明显看出， 特别是 12 岁以上。 而哈雷自己从来没有对此做过评论。 于是， 棣莫弗对哈雷的生命年表做了一个近似: 100 个初生儿， 在 12岁时存活 74 个; 从那以后， 每年减少一人， 直到 86 岁， 一个也不剩了。 如图 18.1 所示， 比较棣莫弗的近似曲线和哈雷最初的曲线， 我们看到， 在 24 岁以后， 两条曲线非常相近。

利用生命年表近似后的线性性质， 年金的计算量可以大大减少。 采用前一章的符号， 棣莫弗首先把生存概率简化为分段线性:

$$P_x^t=\frac{l_{x+t}}{l_x}=1-\frac{t}{w-x}，12\le x<w;0\le t\le w-x，\text{\hspace{1em}(18.4)}$$

而且， 当 $x\ge w$ 和 $t\ge 0，P_x^t=0$。

有了这个关系， 任何一个年纪的生存概率一步就可以算出来， 而不必逐年计算了。 棣莫弗宣称， 以前计算一个年金表需要 3 个月的时间， 现在只要一刻钟就能完成。

图18.1 哈雷生命曲线同棣莫弗近似曲线的比较。 德维特的生命曲线也是分段线性的。

此外， 他还发现如果从 $x\ge w$ 和 $P_x^t=0$ 开始， 往回倒着算， 还可以进一步减少计算量。

线性关系式 (18.4) 现在被称为 “棣莫弗死亡定律”。 其实， 胡德和德维特早就发现了这个线性规律 (见第十六章)。 从图 18.1 我们看到， 德维特的荷兰生命年表的线性程度比哈雷年表还要好一些。 棣莫弗发现了大数阶乘的近似表达， 但现在却用斯特灵的名字命名；他发现了正态分布， 现在用高斯的名字命名；而 “棣莫弗死亡定律” 则是胡德和德维特发现的。 这是科学历史中常见的现象: 一个发现的命名， 经常与真正的发现者无缘。

哈雷和棣莫弗的工作大大促进了英伦三岛保险事业的发展。 当时， 年老牧师和神职人员的善后一直是社会关心的问题。 跟天主教不同， 新教的牧师是可以结婚成家的。 可那时候， 女性是不工作的; 牧师去世以后， 妻子儿女就失去了生活来源。 大约从 1698 年起， 苏格兰教会一直试图用年金的方式来解决这个问题。 可是由于缺乏对年金的理解和资金支持， 都以失败告终。 1742 年， 一群苏格兰神职人员开始重新考虑这个问题， 其中有两个人有坚实的数学背景。 华莱士 (Robert Wallace， 1697-1771) 和韦伯斯特 (Alexander Webster， 1708-1784) 都是神职人员子弟， 都是爱丁堡大学毕业， 其中华莱士尤其喜爱数学。 上学的时候， 有一次数学教授生病， 华莱士主动站出来代课， 得到学生们的好评。 担任牧师以后， 他一直注意皇家学会年金理论的文章， 并做过深入的研究。 韦伯斯特则是一位精力充沛、富有亲和力的牧师。 他以个人的名义写信给苏格兰各地的长老会 (Presbyterian) 教会， 询问教会雇佣牧师的历史纪录， 包括牧师的人数， 牧会 (也就是管理教会) 的年头， 死亡的人数， 遗孀的人数， 有无子女， 等等， 竟然很快就得到了从 1722 年到 1742 年之间 20 年的数据。

根据这些数据， 华莱士开始对年金的设计进行详细计算。 当时， 苏格兰教会雇佣牧师的规矩很严格， 新任牧师一般都在 26 岁上下进入教会。 华莱士采用哈雷的死亡年表， 从 30 岁开始计算每年牧师的统计存活人数。 同样假设最高存活年龄是 84 岁， 他通过计算得出苏格兰长老教会牧师的总数应该是927人。 而当时的实际牧师人数是 970人， 其中包括 26 个当年刚刚进入教会的年轻牧师。 这说明计算的准确程度惊人地高。 华莱士很可能得到了当年在爱丁堡大学的同学、后来的数学教授麦克劳林 (Colin Maclaurin， 1698-1746) 的咨询和支持。

经过几番周折， 长老会总会在 1743 年 5 月通过了华莱士和韦伯斯特的提议。 苏格兰内乱使得年金的启动延误了一年， 不过终于在 1744 年 3 月 25 日正式启动， 这就是著名的苏格兰遗孀保险年金 (Scottish Widows Fund)。 年金启动之后， 华莱士的兴趣渐渐减退， 转去研究世界人口随历史时代的变化。 而韦伯斯特则一直关注着年金的运行。 他批评那些在年金里放入大量积蓄的年老牧师， 鼓励年轻牧师积极参与， 因为他敏锐地意识到牧师们的这些选择会使得华莱士的估算过于乐观。 他还发现， 以前各个教会提供的数字有错误。 另一个事先没有预料到的是， 在 900 多位牧师中， 135位没有加入年金计划， 这是一个很大的百分比。 幸运的是， 麦克劳林在去世之前预见到这种可能， 并提出了一个改进建议。 到了 1758 年， 年金的实际总额达到 47313 英镑 19 先令 9便士， 而华莱士的预期额是47401英镑。 又过了 7 年 (1765 年)， 实际总额达到 58347 英镑 17 先令 8 便士， 预期额是58348 英镑 17 先令 8 便士， 误差竟然只有 1 英镑! 这是精算史上第一个伟大胜利， 然而管理人员的认真负责和参与人的诚实守信也是这个年金成功的重要原因。 这个年金后来的结局我们已经不大清楚了， 但 “苏格兰遗孀” 的名声从此大震。 1815 年， “苏格兰遗孀保险公司” 正式成立， 一直经营到现在。 这个保险公司跟最初的 “苏格兰遗孀” 其实没有直接联系。

1754 年 8 月， 87 岁的棣莫弗被法国科学院推选为外籍院士， 但是他的生命只有几个月的时间了， 体质迅速下降， 需要睡眠的时间越来越长。 有传闻说， 他开始记录自己每天睡眠的时间， 发现下一天的睡眠时间平均比头一天延长了大约 15 分钟。 根据这些数据， 他计算了自己生命终了的日子: 1754 年 11 月 27 日。 那一天来临时， 他真的再也没能醒过来。

棣莫弗做了一辈子家庭教师， 终生未娶。 除了数学， 棣莫弗对文学和美学也有极大的兴趣。 他最喜爱的法国作家是拉伯雷 (François Rabelais， ?—1553) 和莫里哀 (Molière， 1622-1673)。 有一次， 他告诉朋友， 如果可以选择的话， 他宁愿成为莫里哀， 而不是牛顿。 高兴的时候， 他会整段整段地背诵莫里哀的《愤世者》(Le Misanthrope)， 还惟妙惟肖地模仿 70 年前他在巴黎亲眼看到的莫里哀本人的表演:

“不， 我看不惯你们那些时髦人所做的下流样子。 我最恨那些动不动就赌咒发誓的人的丑态；我最恨那些满面春风， 动不动就跟人拥抱的人；我最恨那些废话连篇， 一心要讨好别人的人；他们对所有的人都玩那套虚伪的礼节， 不管对正直人或对坏蛋， 都同样看待。 倘使有人对你献殷勤， 信誓旦旦地向你表白他的友谊、忠心、至诚、崇敬、温情， 天花乱坠地把你恭维了一大套， 可是等他遇见另外任何一个草包， 他也去如法炮制一番；请问， 这于你到底有什么益处？不， 不。 世间没有一个良心摆在当中的人愿意接受这种娼妓式的尊敬；如果有人把我们跟全世界的人都混为一谈， 最光荣的尊敬也就分文不值了。 无论这个人的尊敬心是出于什么偏爱， 如果他对任何人都敬重， 那就等于对任何人都不敬重。 既然你也染上了现时流行的这些毛病， 哼哼， 你就不能再做我的朋友了。 我不能接受那种对个人才德不加任何区别的广泛的情谊。 我要你把我跟别人区别开来; 干脆说吧， 把所有的人都当做朋友看待的人， 我是不喜欢的。 ”

——《愤世者》中主角阿尔赛斯特的一段话 (赵少侯原译；稍有修改)

那么接下来， 我们就谈谈莫里哀的故事。

本章主要参考文献

Bellhouse， D. R. Abraham De Moivre: Setting the Stage for Classical Probability and Its Applications. Boca Raton， Florida: CRC Press， Taylor & Francis Group， 2011: 266.

Dow， J. B. Early actuarial work in eighteenth-Century Scotland. Transactions of the Faculty of Actuaries， 1971-1973， 33: 193-229.

Hald， A. A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Willey Series in Probability and Statistics. New York: John Wiley & Sons， Inc.， 1990: 586.