n阶行列式的定义

行列式的记号

我们用 $D = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn}$ 表示一个 $n$ 阶行列式,其中元素 $a_{ij} \in C$ $(i, j = 1, 2, \dots, n)$ ,这里 $C$ 为复数集. 为了描述行列式中某个位置的元素, 我们将行列式的

横排称为行 (row)

竖排称为列 (column) 这也是用行列式来命名上面式子的原因所在. 那么,

$a_{ij}$ 表示此 $n$ 阶行列式的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素,

$i$ 称为行指标,

$j$ 称为列指标.

我们首先分析2阶与3阶行列式的定义. 从二阶和三阶行列式的展开式中得到启发,下面借助于 $n$ 阶排列的知识来定义 $n$ 阶行列式的值.

定义 3.1. $n$ 阶行列式

$n$ 阶行列式 $D = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn}$ 等于所有来自不同行不同列的 $n$ 个元素乘积的代数和.

由于代数和的项数为 $n!$ 个, 为了表达方便, 我们可以将每项中的 $n$ 个元素按行指标由小及大的顺序排列, 即写作 $a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$ 的形式,并规定

当列指标 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 是 偶排列 时,此项前面带正号;

当列指标 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 是 奇排列 时,此项前面带负号.

这样, $n$ 阶行列式可以表示为
$D = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} = j_{1} j_{2} \dots j_{n} \sum (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}} . (3.1)$
其中 $j_{1} j_{2} \dots j_{n} \sum$ 表示对所有可能的 $n$ 阶排列求和. (3.1) 称为行列式的 展开式.

上述 $n$ 阶行列式通常记为 $D = det (a_{ij})$ 或者 $∣ a_{ij} ∣_{n}$ .

验证低阶行列式

当 $n = 1$ 时, 规定 $∣ a_{11} ∣ = a_{11}$ .

当 $n = 2$ 时, $a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} = j_{1} j_{2} \sum (- 1)^{τ (j_{1} j_{2})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}},$

当 $n = 3$ 时, $a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = j_{1} j_{2} j_{3} \sum (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} j_{3})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} a_{3 j_{3}} .$

行列式按列展开

上面定义行列式展开式中的项是按行指标的自然顺序排列的.

一个自然的问题是, 每一项能否按列指标的自然顺序排列呢?

答案是肯定的. 由于数的乘法满足交换律,不妨设某项为 $a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$ ,调整元素的顺序,设 $a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}} = a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \dots a_{i_{n} n} .$

我们知道此项的正负由 $τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})$ 来决定.

将上述等式左侧化为右侧可以通过元素之间的对换来完成,

每作一次元素的对换, 由其元素的行指标和列指标构成的排列也都要作一次对换,

也就是说 $i_{1} i_{2} \dots i_{n}$ 与 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 同时改变奇偶性,

故由定理 2.2 知 $(- 1)^{τ (i_{1} i_{2} \dots i_{n})} = (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})}$ .

于是, $n$ 阶行列式的另一个展开式为 $\left| \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}}}{\left( -1\right) }^{\tau \left( {{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}}\right) }{a}_{{i}_{1}1}{a}_{{i}_{2}2}\cdots {a}_{{i}_{n}n}. \tag{3.2}$

例题 3.1

Youliang Zhong

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