分析2阶与3阶行列式的定义

对于二阶或三阶, 行列式的值都是元素之 “积” 的 “和”.

对于二阶行列式, 积是取自不同行不同列的两个元素的积,这样的积共有 $2!=2$ 个,

• $a_{11}{a}_{22}$ 取正号,
• $a_{12}{a}_{21}$ 取负号.

对于三阶行列式,积都是取自不同行不同列的三个元素的乘积,有 $3!=6$ 个. 其中三项,即

• $a_{11}{a}_{22}{a}_{33}$, $a_{12}{a}_{23}{a}_{31}$ 和 $a_{13}{a}_{21}{a}_{32}$ 带正号,
• $a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$, $a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$ 和 $a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$ 带负号.

进一步可以观察到, 若我们首先将上述取自不同行不同列元素之积项的行指标按照自然顺序排起来, 再考察列指标, 则

• 对于二阶行列式, 两项的列指标为 12, 21,
  • 而 12 是偶排列, 此项前面带有正号,
  • 而 21 是奇排列, 对应的项前面带有负号.
• 对于三阶行列式, 行指标按照自然顺序排起来后,
  • 带正号的项的列指标为 $123,231,312$, 它们是关于 $1,2,3$ 的偶排列;
  • 带负号的项的列指标为 $132,213,321$, 它们为奇排列.